Читать онлайн «Высшая математика»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Под редакцией Г. Н. Яковлева Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности 2120 «Общетехнические дисциплины и труд» Москва «Просвещение» 1988 ББК 22. it В93 Авторы: Г. Л. Луканкин, Н. Н. Мартынов, Г. А. Шадрин, Г. Н. Яковлев Рецензенты: . доктор физико-математических наук, профессор МГПИ им. В. И. Ленина И. И. Баврин; кафедра математического анализа Пензенского пединститута (зав. кафедрой доцент А. В. Гуляев) Высшая математика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов В93 по спец. 2120 «Общетехн. дисциплины и труд» / Г. Л. Луканкин, Н. Н. Мартынов, Г. А. Шадрин, Г. Н. Яковлев; Под ред. Г. Н. Яковлева. —М. : Просвещение, 1988. —431 с: ил. ISBN 5-09-000293-2 Учебное пособие написано в соответствии с новой программой по высшей математике для индустриально-педагогических факультетов педагогических институтов. Особое внимание уделено прикладной и практической направленности курса, применению вычислительной техники. Начало доказательства утверждений помечается в книге знаком ? , окончание доказательства — знаком Щ, начало решения примеров—знаком Д , а окончание решения — знаком А . ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Раздел I. Аналитическая геометрия § 1. Векторы. Операции над векторами 1. Скалярные и векторные величины. Известно, что одни величины при выбранной единице измерения полностью определяются своим числовым значением. Эти величины называются скалярными (числовыми). Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура. Другие величины, например перемещение, сила, ускорение, скорость, определяются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называются векторными величинами. Геометрически векторную величину можно изобразить с помощью направленного отрезка, длина которого в заданном масштабе измерения равна числовому значению векторной величины, а направление совпадает с направлением этой величины. Направленный отрезок изображается в виде стрелки. На рисунке 1 показан направленный отрезок, начало которого находится в точке О, а конец — в точке А. Его —>- обозначают О А. Аналогично обозначается любой другой вектор, если известны его начало и конец. Например, АВ обозначает направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Через \АВ\ обозначается длина направленного отрезка АВ Таким образом, векторная величина — это величина, которую можно изобразить A D Рис. 1 Рис. 2 с помощью направленного отрезка. Этот направленный отрезок называется вектором, изображающим данную векторную величину. Итак, вектор — это направленный отрезок. Определение 1. Два вектора называются равными, если они имеют равные длины, лежат на параллельных или совпадающих прямых и направлены в одну сторону. Например, на рисунке 2, где ABCD — ромб, векторы AD и ВС равны, так как \AD\ = \BC\, AD\\BC и отрезки AD и ВС направлены в одну сторону.