Читать онлайн «Рациональные функции как аппарат приближения»

В. Н. Русак Рациональные функции как аппарат приближений Минск Издательство БГУ им. В. И. Ленина 1979 5172 Рекомендована Советом Р88 •механико-математического УДК 517. 5 факультета Белгосунивер- ситета им. В. И. Ленина Рецензент — доктор физико-математических наук, профессор В. С. Виденский Рациональные функции как аппарат приближения. Русак В. Н. Минск, Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1979. Книга посвящена изучению рациональных функций с предписанными полюсами как аппарата приближения более широких классов функций. В ней излагаются экстремальные оценки для производных алгебраических дробей (в частности, рациональных функций) и прямые теоремы о скорости равномерного приближения рациональными операторами типа Фурье, Фейера, Джексона и Балле Пуссена. Полюсы рациональных функций или заранее фиксированы, или их выбор определенным образом связан с изучаемыми операторами, или они выбираются наиболее подходящим способом в зависимости от свойств приближаемой функции. Основное внимание уделено изложению вопросов, исследование которых основано на применении алгебраических дробей, наименее уклоняющихся от нуля в чебышев- ской метрике. Библ. 79. 20203—006 Р МЗ17-79 48~79 © Издательство БГУ им. В. И. Ленина, 1979 ОТ АВТОРА С точки зрения вычислительной математики рациональные функции лишь немного сложнее полиномов и естественно их применение в качестве аппарата приближения других классов функций. Исследования в этом направлении представляют собой в настоящее время обширную ветвь математического анализа и не могут быть полностью отражены в объеме данной книги. В ней изложены только вопросы, относящиеся к изучению рациональных функций с предписанными полюсами. В частности, в терминах мажорирующих функций, зависящих от полюсов, доказаны экстремальные неравенства для производных в различных метриках; изучена скорость равномерного приближения рациональными операторами типа Фейера, Джексона и Балле Пуссена; с помощью рациональных сумм Фурье найдены классы аналитических функций, для которых рациональная аппроксимация дает существенный выигрыш по сравнению с полиномиальной. Выбор материала в значительной степени определен научными интересами автора, некоторые результаты публикуются впервые. Основным средством исследования являются наименее уклоняющиеся от нуля^на различных континуумах алгебраические дроби. Впервые такие алгебраические дроби ввел в рассмотрение П. Л. Чебышев. Их дальнейшая судьба была определена в первую очередь работами С. Н. Берн- штейна. К настоящему времени алгебраические дроби, наименее уклоняющиеся от нуля, нашли широкое применение в теории рациональных приближений, и автор ставил своей целью отразить это в данной книге. В отличие от полиномов рациональные функции с предписанными полюсами не обладают такими свойствами, как инвариантность относительно сдвига аргумента и инвариантность по отношению к операции интегрирования. Тем не менее методы 3 ЙссЛеДо&анйя, кбтбрУё ЗДеСь используются, представляют собой так или иначе модификации классических методов полиномиальной теории приближения.