Читать онлайн «Вычеты и их приложения»

А. О. ГЕЛЬФОНД и их приложения А. О. ГЕЛЬФОНД ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 517. 2 Г-32 УДК 517. 53 Александр Осипович Гелъфонд ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ М. , 1966 г. , 112 стр. Редактор Г. М. Мордасова Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор М. Л. Липелис Сдано в набор 21/III 1966 г. Подписано к печати 2/VIII 1966 г. Бумага 84xl08/82. Физ. печ. л. 3,5. Условн. печ. л. 5,88. Уч. -изд. л 5,90. Т-11050. Тираж 15 000 экз. Цена книги 35 к. Заказ № 375. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28. 2-2-3 4-Б 3-5-66 ВВЕДЕНИЕ Математические методы становятся сильным и глубоко проникающим орудием исследования в самых различных разделах естествознания и других наук. Среди классических методов, с успехом использующихся в математике и ее приложениях, далеко не последнее место занимает метод вычетов, основанный на свойствах вычетов аналитических функций одного комплексного переменного. Вычисление интегралов, получение глубоких, функциональных тождеств, разложение функций в ряды, в том числе и интерполяционные, получение асимптотик, решение дифференциальных уравнений некоторых классов — вот неполный перечень возможных приложений теории вычетов. Для упрощения пользования предлагаемой книжкой мы даем краткие сведения об особых точках аналитических функций, о целых и мероморфных функциях, интеграле Фурье, преобразованиях Меллина и Лапласа. Материал, содержащийся в предлагаемой читателю книжке, требует знания начал теории функций комплексного переменного, включая понятие интеграла и теорему Коши о том, что интеграл, взятый по любому замкнутому спрямляемому контуру, целиком лежащему в односвязной области регулярности аналитической функции, равен нулю. Доказательство этого классического предложения можно найти, например, в книгах [1] — [3]. Если область D регулярности f(z) не одно- связна, но функция в ней однозначна, другими словами, если выходя из любой точки z области 29, двигаясь по любому замкнутому контуру, принадлежащему области D, и возвращаясь в z, мы приходим к тому же значению f(z)y что и начальное, то теорема Коши 4 ВВЕДЕНИЕ сохраняется. Именно, интеграл по любому замкнутому спрямляемому контуру С, лежащему в Z), внутри которого f(z) регулярна, равен нулю. При этом контур С можно считать составленным из нескольких простых замкнутых кривых. Например, пусть область D трех- связна и состоит из круга |z|