Читать онлайн «Лекции по математической логике»

Министерстве высшего и среднего специального образования РСФСР МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ Ю. И. Маш ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ Часть I Учебное пособив для студентов специальности 0647 Рекомендовано Редсоветом института в качестве учебного пособия Москва - 1974 СОДЕРЖАНИЕ Введение. Литература. Приложение. Глава I* Язык высказываний. § I. Общие сведения о явыках. § 2. Язык высказываний: алфавит, синтаксис и интерпретация. § 3. Интуитивные пояснения. § 4. Содержательная истинность. § 5. Синтаксическая истинность. § 6. Совпадение содержательной и синтаксической истинности в языке 1-0 , Глава П. Язык предикатов. § I. Алфавит и синтаксис. § 2. Интерпретация. § 3. Примеры интерпретаций. § 4. Некоторые вычисления функций истинности. § 5. Аксиомы к выводимость в L ^ • § б. Теоремы о моделях Геделя и Леввнгейма-Сколвма. § 7. Доказательство теорем о моделях. § 8. Ыатематичеокяе свойства языков Lх . § 9* Структура формальной математики. Глава Ш, Проблеиа континуума. § I. Постановка задачи. Неформальные объяснения. § 2. Язык L2Rtc«*. и его стандартная интерпретация. § 3. Континуум-гипотеза и аксиома выбора. § 4. Нестандартная булева интерпретация языка Lz основные понятия. § 5. Конструкция булевой интерпретации языка Lz § б. Континуум-гипотеза "ложна". § 7. Аксиомы ,L2 fo-сЛ § 8. Аксиома выбора "истинна". § 9. Аксиома полноты "истинна". § 10. Обсуждение. Введение O. I. Содержанием математической логики является изучение языка математики. Разумеется, забота о языке и постоянная его перестройка для приведения в соответствие с меняющийся соотоянием знаний характерна для любой естественной науки (ср. судьбу "флогистона" и "мирового эфира" в физике). Тем не менее, необходимая работа обычно осуществляется по ходу дела, и то пристальное критическое рассмотрение, которому математика подвергла самое себя и сбои средства выражения, представляется уникальным. Причина этого состоит, конечно, в том, что все остальные естественные науки имеют предмет, внеположный им, и эволюция языка науки определяется постоянным сравнением научного описа- описания с описываемой реальностью. Попытка применить эту же схему к математике сразу натал- наталкивается на принципиальную трудность, ибо совершенно не ясно, в каком смыоле числа и множества являются реальностью. Столь же не яоным при внимательней рассмотрении становится ответ на вопрос, что такое истинность (математического рассуждения). Если быть до конца последовательным, следует признать это обстоятельство роковым. * Действительно, до выяснения природы истинности, мы, по-видимому, ни в состоянии сделать ни одного истинного утверж- утверждения, и исследование должно остановиться не начавшись. * Предыдущий абзац не является просто софизмом. Он предоп- предопределяет две характерные черты математической логики. 1*-1877 Первая состоит в той, что строя формализмы логики, мы не- неизбежно должны пользоваться неформализованными, интуитивными представлениями, близкими к обычной рабочей интуиции математика. Технический термин для этого - "метаязык", на котором идет опи- описание "формальных изыков", в свою очередь являющихся моделями дедуктивных, в том числе математических (в том числе метаязыковых!) рассуждений.