Читать онлайн «Исследование функций с помощью производной»

В. ЛИСИЧКИН I I · I Я Ι мСКуССТВи История Начальная школа ССЛеДОВЭНИе Немецкийязык фуНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ Русскииязык - ПРОИЗВОДНОЙ Физика Французский язык Химия Школьный психолог БИБЛИОТЕЧКА «ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ» Серия «Математика» Выпуск 3 В. Лисичкин ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ Москва Чистые пруды 2005 УДК 372. 851,2 ББК 74. 262. 21 Л63 Общая редакция серии «Математика» В. Т. Лисичкин Лисичкин В. Л63 Исследование функций с помощью производной / В. Лисичкин. - М. : Чистые пруды, 2005. - 32 с. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика»). ISBN 5-9667-0054-0 Данная брошюра написана в соответствии с действующей школьной программой. Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения, а также при подготовке к выпускному экзамену в традиционной форме, ЁГЭ и вступительным экзаменам в вузы. Краткие теоретические сведения сопровождаются подробными решениями задач. Упражнения для самостоятельного решения снабжены ответами или указаниями к решению. УДК 372. 851,2 ББК 74. 262. 21 Учебное издание ЛИСИЧКИН Виктор ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ Редактор Г. П. Хозяинова Корректор ЛЛ. Громова Компьютерная верстка СВ. Сухарев Свидетельство о регистрации СМИ ПИ № ФС77-19078 от 08. 12. 2004 г. Подписано в печать 05. 05. 2005. Формат 60х90'/16. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Заказ № 809 Тираж 22000 экз. ООО «Чистые пруды», ул. Раменское, МО, 140100 Тел. 377-0783. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, более точное построение их графиков, нахождение их наибольших и наименьших значений и т. д. Познакомимся с основными идеями, связанными с исследованиями функций. Для этого рассмотрим график какой-нибудь функции у = f(x), χ е [а; Ь] (рис. 1). Рис, 1 Интуитивно ясно, что на промежутках [α; χλ] и [х2; Ь] данная функция возрастает, а на промежутке [хх; х2] — убывает. В дальнейшем будем рассматривать только дифференцируемые функции. Определение 1. Функция у = f{x) называется возрастающей на некотором промежутке, если в точках этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Согласно определению возрастающей на некотором промежутке функции имеем: если х2 > хр то f(Xo) > f(xx)\ если х2 < х19 то f(x2) < f{xx). Отсюда следует, что если х2 - хг > 0, то f(x2) - f(x^) > 0, если х2 - хг < 0, то f(x2) - f(x^) < 0.