Читать онлайн «n-арные алгебры Мальцева»

Алгебра, и логика, 40, N 3 (2001), 309-329 УДК 512. 554 п-АРНЫЕ АЛГЕБРЫ МАЛЬЦЕВА*) А. П. ПОЖИДАЕВ В ведение Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем Ф, на котором задана невырожденная симметрическая билинейная форма {•,•). Предположим, что на V определена п-арная полилинейная операция [•,... , •], удовлетворяющая соотношениям: 1) ( [ a i , . . . , a n ] 7 a,-) = 0 для любых ^ 6 V, % = 1 , . . . , щ 2) ( [ a i , . . . , a„], [a b . . . , an}) = det((al-, a,)) для любых a b ... , a n € V. Тогда У называется п-арной алгеброй векторного произведения. Согласно классификационной теореме n-арных алгебр векторного произведения, при п = 2 единственно возможными алгебрами векторно­ го произведения являются простая 3-мерная алгебра Ли si (2) и простая 7-мерная алгебра Мальцева Сч\ а при п ^ 3 — простые (п + 1)-мерные n-лиевы алгебры векторного произведения [1], являющиеся аналогами ал­ гебры 5/(2), и исключительные восьмимерные тернарные алгебры, возни­ кающие на композиционных алгебрах. В настоящей работе по аналогии с тг-лиевыми алгебрами, которые яв­ ляются естественным обобщением алгебр Ли на случай п-арной операции умножения, определяется понятие п-арной алгебры Мальцева и показы­ вается, что исключительные алгебры векторного произведения являются *> Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН, грант для коллективов молодых ученых (постановление Президиума СО РАН N 83 от 10. 03. 2000), а также Ми­ нистерства образования РФ (фундаментальные исследования в области естественных наук). © Сибирский фонд алгебры и логики, 2001 310 А. П. Пожидаев тернарными центральными простыми алгебрами Мальцева, которые не будут: 3-лиевыми алгебрами, если характеристика основного поля отлична от 2 и 3. Класс n-арных алгебр Мальцева обладает также следующими интересными свойствами: 1) он является расширением класса п-лиевых алгебр, т. е. любая n-лиева алгебра является n-арной алгеброй Мальцева (ср. с алгебрами Мальцева, когда любая алгебра Ли является алгеброй Мальцева); 2) фиксируя любую компоненту в произведении, т. е. определяя но­ вую производную операцию на векторном пространстве п-арной алге­ бры Мальцева А правилом [хх,... , # n -i] = [ a , s i , . . . , #„_i], получаем (n — 1)-арную алгебру Мальцева. Таким образом, основной результат статьи можно сформулировать следующим образом: любая n-арная алгебра векторного произведения является п-арной центральной простой алгеброй Мальцева. § 1. Определения и предварительные результаты Пусть Ф — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей; Q- алгеброй над кольцом Ф называется унитарный Ф-модуль, на котором за­ дана система полилинейных алгебраических операций Q = {о;,- : \и>{\ = щ € € N, г Е / } , где символом |CJ3| обозначается арность операций а?;.