Читать онлайн «Выпуклые поверхности»

HERBERT BUSEMANN UNIVERSITY OF SOUTHERN CALIFORNIA, LOS ANGELES CONVEX SURFACES INTERSCIENCE PUBLISHERS, INC. , NEW YORK INTERSCIENCE PUBLISHERS LTD. , LONDON Г. БУЗЕМАН ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Перевод с английского В. А. ЗАЛГАЛЛЕРА и С. И. ЗАЛГАЛЛЕР ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА: МОСКВА . 1964 517. 4 Б 90 УДК 513. 731 АННОТАЦИЯ Монография Г. Буземана . Выпуклые поверх- поверхности' является, в известной степени, продол- продолжением книги Боннезена и Фенхеля, написанной в 1934 г. Однако книга Г. Буземана в отличие от упомянутой дает также полный обзор ра- работ, выполненных после 1934 г. ' в самых разно- разнообразных направлениях теории выпуклых по- поверхностей. Книга написана известным специалистом и дает исчерпывающий материал по теории выпук- выпуклых поверхностей. Поэтому она, безусловно, представит большой интерес для широкого круга математиков — научных работников, сту- студентов и аспирантов, интересующихся геомет- геометрией или ее связями с другими разделами науки (дифференциальные уравнения в частных произ- производных, теория оболочек). ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИК О-М АТЕМАТИ ЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава I. Внешняя геометрия 1] § 1. Обозначения, терминология, начальные сведения ... . 11 § 2. Выпуклые кривые 18 § 3. Теоремы Менье и Эйлера 24 § 4. Внешняя гауссова кривизна 38 § 5. Влияние кривизны на локальную форму поверхности . . 47 Глава П. Теория Брунна — Минковского и ее приложения 57 § 6. Смешанные объемы 57 § 7. Общая теорема Брунна — Минковского 65 § 8. Проблема Минковского • 80 § 9. Единственность при задании{/?! ... Rm] 89 Глава III. Внутренняя геометрия 96 § 10. Внутренние метрики 96 § 11. Метрика выпуклых гиперповерхностей 102 § 12. Дифференциальные свойства геодезических 112 § 13. Углы. Условие выпуклости 120 § 14. Триангуляция. Внутренняя кривизна 128 § 15. Теорема Гаусса — Бонне. Квазигеодезические 135 Глава IV. Реализации внутренних метрик 144 § 16. Жесткость выпуклых многогранников 144 § 17. Реализация многогранных метрик 156 § 18. Проблема Вейля 167 § 19. Локальная реализация метрик неотрицательной кривизны 177 § 20. Существование незамкнутых поверхностей. Общая тео- теорема о склеивании 183 6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 21. Однозначная определенность замкнутых поверхностей . . 189 § 22. Другие теоремы однозначной определенности. Изгибания 148 § 23. Гладкость реализаций 203 Глава V. Заключение 217 § 24. Выпуклые поверхности в неевклидовых пространствах 217 § 25. Двумерные многообразия ограниченной кривизны . . . 219 § 26. Экстремальные задачи 223 Литература 227 Предметный указатель • 235 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ Цель этой книги — ознакомление широкого крута мате* матиков с теорией выпуклых поверхностей, которая за последние 25 лет получила очень глубокое развитие, глав- главным образом в СССР, но оставалась почти неизвестной в других странах, во всяком случае в США. Книга возникла на основе лекций, которые в 1956 г. автор читал по просьбе своих коллег на специальных Лет- Летних курсах по „Дифференциальной геометрии в целом" в Сиетле.