Читать онлайн «Математические соревнования: Арифметика и алгебра»

Математика Библиотечка физино математической школы С. Л олч но Д. Л. озейталь И МЕТИНА И АЛГЕБРА Математика Г Библиотечка физико-математической школы Выпуск 3* Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталъ Математические соревнования Арифметика и алгебра Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литерату ры Москва 1970 512 Д89 УДК 512 2/512. 3 Математика Библиотечка физико-математической школы ?мг ТИ Серия дополнительная И. М. Гельфанд г 2-2-2 192-69 Содержание Предисловие Задачи В Решения . " 24 Дополнительные задачи 91 Расположение задач по циклам Номера задач Логические задачи 1—20 Комбинаторика и расположения 21—37 Принцип Дирихле « 38—47 Делимость 48—70 Неравенства . ". 71—84 Уравнения, последовательное™ 85—103 Задачи, связанные с теорией групп ... . 104—107 Иррациональные числа 108—111 Предисловие Эта книжка предназначена для школьников, любящих решать трудные задачи. Так же как и выпущенный ранее сборник «Математические задачи» *), она написана по ма- материалам Вечерней математической школы при механико- математическом факультете МГУ. В нее включены алгеб- алгебраические и логические задачи, дававшиеся на конкурсах ВМШ в 1964—1966 гг. Подбором задач руководили в 1964/65 учебном году Н. Васильев, в 1965/66 учебном году — Л. Гончарова, А. Толпыго, В. Фишман, И. Яглом, в 1966/67 учебном го- году — Б. Григорьев, С. Гусейн-заде и И. Евстигнеев. К за- задачам, дававшимся в ВМШ, авторы добавили около 30 но- новых задач. Задачи сгруппированы в тематические циклы (перечень циклов приведен на стр. 3). Внутри цикла авторы старались расположить задачи по возрастанию сложности. Задачи без решений помещены в специ- специальном разделе «Дополнительные задачи». — При подборе задач использовались самые разнообраз- разнообразные источники. Часть задач заимствована из «Сборника задач московских математических олимпиад», «Просвеще- «Просвещение», 1965 (задачи 53, 56, 58, 64, 69, 74, 76, 82), из книги М. Gardner, Mathematical puzzles and diversions, Penguin Books, 1965 (задачи 4, 5, 6, 26 и 33) и из других источников. При этом многие формулировки были пере- переработаны, все решения написаны заново. Ряд задач, по- видимому, еще нигде не публиковался (например, 13, 16, 50, 57, 70, 96, 107 и др. ). Знаний, имеющихся у восьмиклассников, достаточно для решения большинства задач. Задачи, требующие боль- большей подготовки, отмечены звездочкой. Наиболее трудные задачи выделены двумя звездочками. *) Е. Б. Д ы н к и и, С. А. М о л ч а н о в, А. Л. Р о з е н т а л ь, А. К. Т о л п ы г о, Математические задачи, Библиотечка физико- математической школы, серия дополнительная, выпуск 1*, 1-е изд. , Физматгиз, 1965; 2-е изд. , «Наука», 1966. 4 Izrzp ?s? iteim an !¦ Mm i4ii f P \ —*#¦ \ \ ЗАДАЧИ 1. Три разбойника хотят поделить добычу. Каждый уверен, что он бы поделил добычу на равные части, но ос- остальные ему не доверяют. Если бы разбойников было двое, то выйти из положения было бы легко: один разделил бы добычу на две части, а другой взял бы ту часть, которая ему кажется большей.