Читать онлайн «Сборник задач всероссийских студенческих математических олимпиад, 1986-1990»

СБОРНИК ЗАДАЧ ВСЕРОССИЙСКИХ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД (Методическое пособие) Ижевск 1994 УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ! УНИВЕРСИТЕТ Медников Я. Э. , Мерзляков А. С. , Романов Я. И. , Яшин А. Д. СБОРНИК ЗАДАЧ ВСЕРОССИЙСКИХ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛЖПИАД (Методическое пособие) ИЖЕВСК 1994 УДК 510 (079 1) Μ 424 МЕДНИКОВ Л. Э. . МЕРЗЛЯКОВ А. С. . РОМАНОВ Я. И. , ЯНИН А. Д. Сборник задач Всероссийских студенческих математических олимпиад (1986-1990гг. ) Методическое пособие. Ижевск: Иэд-во Удм. ун-та,1994. Эбс. Методическое пособие рекомендуется студентам и преподавателям вузов. Многие задачи понятны и школьникам старших классов, серьезно занимающимся математическими исследованиями. Несомненно представляет интерес для руководителей семинаров по решению нестандартных задач. С/Издательство Удмуртского университета ПРЕДИСЛОВИЕ В 1966*1090 гг. на базе математического факультета Удмуртского государственного университета проводило* Всероссийский тур Всесоюзной математической олимпиады Студент и научно-технический прогресс В олимпиаде участвовали студенты университетов РСФСР, обучающиеся но специальности математика . Такой выбор участников обусловил определенный уровень и направленность заданий, предложенных для решения: задачи соответствовали усредненной университетской программе (по РСФСР) и имели теоретический характер. Учитывая общепринятую традицию - не забывать научны· результаты олимпад С а научным результатом олимпиады можно считать как удачную задачу, так и ее оригинальное решение), - было принято решение подготовить сборник задач Всероссийской студенческой оликлиады с 1986 по 1990 гг. Авторы благодарят всех, кто принял активное участие в подборе и составлении задач олимпиады и кто оказал помочь в составлении настоящего сборника. Особо хоггепосъ бы отметить доцента кафедры математического анализа [Инейберга И Я. ] и доцента кафедры алгебры и топологу и Воронецкого А. Б. , которые не только предложили ряд задач, но и, внимательно изучив рукопись настоящей работы, внесли немало полезны* советов по изменению решений задач. Авторы надеются, что предлагаемый сборник будет полезен всем, для кого математика является предметом активного интереса. СОДЕРЖАНИЕ стр. 1. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 5 г. РЕШМЯ ЗАДАЧ 17 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 19ΘΘ г 1 курс 1. Доказать, что последовательность if (яюф) периодична, и найти наименьший период, ρ * простое число. 2. Для каждого а>0 найти число решений уравнении а* ■ ϊ. 3. Найти число вещественных корней многочлена Р(х) -1 ♦&■♦£♦··· *& 4. Найти на плоскости геометрическое место точек, из которых можно провести к данному эллипсу две касательные одинаковой длины 5. Могут ли две различные непрерывные функции f ,g: R —♦ ·? совпадать на множестве рациональных чисел. Ζ курс 1. Построить пример уравнения Вернулли, обладающего свойстьом: всякое нетривиальное решение этого уравнения имеет конечный интервал существования. 2. Найти все функции #>(х), для которых н&йдетсд такая функция f(x), что последовательность, fn s f^'Cx) равномерно сходится к f