Читать онлайн «Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики»

С. Д. Алгазин Численные алгоритмы без насыще- ния в классических задачах матема- тической физики МОСКВА “НАУЧНЫЙ МИР” 2002 1 УДК 519. 6 ББК – 22. 193 A45 С. Д. Алгазин А45 Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математи- ческой физики. – М. : Научный Мир, 2002. – 155 с. ISBN 5-89176-184-X В книге рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов мате- матической физики. В основном рассматриваются спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три крае- вых задачи) и бигармонического уравнения (две краевые задачи). Классический подход, основанный на применении методов конечных разно- стей и конечных элементов, обладает существенными недостатками – он не реагирует на гладкость отыскиваемого решения. Для разностной схемы p-го порядка в независимости от гладкости отыскиваемого решения погрешность метода - O(hP). Гладкость решения определяется входными данными задачи. Рассматриваемые в книге алгоритмы свободны от этих недостатков. Предлагаемые алгоритмы автоматически настраиваются на гладкость отыски- ваемого решения и их точность тем выше, чем большим условиям гладкости отвечает отыскиваемое решение. Для рассматриваемых задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений экспериментально показано, что убывание погрешности - экспоненциально. Этого невозможно добиться методами конечных разностей и конечных элементов. Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах не- большого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения поставленных задач. Приводятся программы на фортране. Монография представляет интерес для студентов и аспирантов физико- технических и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных сотрудников и инженеров, интересующихся но- выми методами численного решения задач математической физики. УДК 519. 6 ББК- 22. 193 ISBN 5-89176-184-X © Алгазин С. Д. , 2002 © Научный мир, 2002 2  Оглавление ОБОЗНАЧЕНИЯ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8 ВВЕДЕНИЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 11 ГЛАВА I. ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМОВ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 16 §1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16 Теорема 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 16 §2. ТЕОРЕМЫ ЛОКАЛИЗАЦИИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17 Теорема 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17 Теорема 3 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 20 §3.