Читать онлайн «Введение в топологию»

В. А. Васильев Введение в топологию Ф ФАЗИС Москва 1997 ББК 22. 152 В19 УДК 515. 1 Васильев В. А. Введение в топологию. М. : ФАЗИС, 1997. — хи + 132 с. (Библиотека студента-математика. Вып. 3) ISBN 5-7036-0036-7 Издательство ФАЗИС (ЛР №064705 от 09. 08. 96) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44 Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН 121099 Москва Г-99, Шубинский пер. , 6 Заказ № 2760 ISBN 5-7036-0036-7 © ФАЗИС, 1997 Оглавление Предисловие IX Чаять I. Основы теории гомотопий 1 1. Топологические пространства и операции над ними 1 2. Гомотопические группы и гомотопическая эквивалентность 8 3. Накрытия 18 4. Клеточные пространства (CW-комплексы) 20 5. Относительные гомотопические группы и точная последовательность пары 29 6. Расслоения 34 7. Гладкие многообразия 41 8. Степень отображения 50 Часть П. Гомологии 59 9. Гомологии: основные определения и примеры 59 10. Основные свойства сингулярных гомологии и методы их вычисления 71 11. Гомологии клеточных пространств 83 12. Теория Морса 89 13. Когомологии и двойственность Пуанкаре 103 14. Некоторые приложения теории гомологии 111 15. Умножение в когомологиях (и гомологиях) 117 Предметный указатель 125 Предисловие Эта книжка возникла из записок курса лекций, прочитанных в 1996 г. для студентов 1-2 курсов Независимого Московского Университета. Топология — очень красивая наука. Она осуществляет связь геометрии с алгеброй. Ее идеи и образы играют ключевую роль практически во всей современной математике — в дифференциальных уравнениях, механике, комплексном анализе, алгебраической геометрии, функциональном анализе, математической и квантовой физике, теории представлений, и даже — в удивительно преображенном виде — в теории чисел, комбинаторике и теории сложности вычислений. В последнее время большинство новых идей в математике возникают в топологии из геометрических образов, а затем формализуются и переносятся в более алгебраические области. Поэтому владение основами топологии необходимо любому специалисту-математику. К сожалению, топология до сих пор не входит в число базисных предметов, изучаемых на математических факультетах большинства вузов. Добросовестные преподаватели других дисциплин по необходимости вводят ее фрагменты в свои курсы, но студент, изучающий формулу Стокса в анализе, принцип аргумента и римановы поверхности в ТФКП, принцип сжимающих отображений и индекс особой точки векторного поля в дифференциальных уравнениях, эйлерову характеристику в комбинаторике, теоремы об устойчивых режимах в механике и теории управления, теоремы о неподвижной точке в математической экономике, не всегда понимает, что каждый раз занимается по сути одним и тем же. Изучать же основы этой науки как правило приходится самостоятельно. (Исключительным событием, по-видимому оказавшим очень большое влияние на мое поколение московских математиков и, безусловно, на меня самого, был спецкурс Д. Б. Фукса, прочитанный им на мех-мате МГУ в 1976-77 гг. ) В течение нескольких лет (в конце 80-х - начале 90-х гг. ) я читал неформальные вводные курсы топологии для младшекурсников и старше- X Предисловие классников математических школ.