Читать онлайн «Субдифференциалы»

Содержание Предисловие v Глава 1. Выпуклые соответствия и операторы 1 1. 1. Выпуклые множества ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 1. 2. Выпуклые соответствия ... ... ... ... ... ... ... ... . 18 1. 3. Выпуклые операторы ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 30 1. 4. Вееры и линейные операторы ... ... ... ... ... ... . 44 1. 5. Системы выпуклых объектов ... ... ... ... ... ... . . 59 1. 6. Решеточно нормированные пространства ... ... . 71 1. 7. Комментарии ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 87 Глава 2. Геометрия субдифференциалов 95 2. 1. Метод канонического оператора ... ... ... ... ... . . 96 2. 2. Экстремальная структура субдифференциалов . 114 iv Содержание 2. 3. Субдифференциалы операторов, действующих в модулях ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 129 2. 4. Внутреннее строение субдифференциалов ... ... . 147 2. 5. Шапки и грани ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 162 2. 6. Субдифференциалы, порождаемые суммами решеточных гомоморфизмов ... ... ... ... ... ... ... 175 2. 7. Комментарии ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 191 Глава 3. Выпуклость и открытость 199 3. 1. Открытость выпуклых соответствий ... ... ... ... 200 3. 2. Метод общего положения ... ... ... ... ... ... ... ... 216 3. 3. Исчисление поляр ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 232 3. 4. Двойственная характеризация открытости ... ... 249 3. 5. Открытость и полнота ... ... ... ... ... ... ... ... ... 260 3. 6. Решета, совершенные ткани и принцип открытости ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 272 3. 7. Комментарии ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 287 Приложение 1. Векторные решетки 294 Приложение 2. Положительные операторы 304 Приложение 3. Векторные меры 310 Приложение 4. Булевозначные модели 317 Литература 325 Авторский указатель 358 Указатель обозначений 361 Предметный указатель 365  Предисловие Предмет настоящей книги — субдифференциальное исчисление. Главный источник этого раздела функционального анализа — теория экстремальных задач. Поясним происхождение и постановку основных проблем суб- дифференциального исчисления. Для этого рассмотрим абстракт- ную задачу минимизации в виде x ∈ X, f (x) → inf . Здесь X — некоторое векторное пространство, а f : X → R — числовая функция, принимающая, быть может, бесконечные значе- ния. Как обычно, в подобных обстоятельствах нас интересуют вели- чина inf f (X) — значение задачи — и ее решения или оптимальные планы, иначе говоря, те x̄ ∈ X, для которых f (x̄) = inf f (X) (если они существуют).