Читать онлайн «Сборник задач по оптимизации»

УДК 519. 6 ББК 22. 18 А 47 Алексеев В. М. , Га леев Э. М. , Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учеб. пособие. — 2-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с. - ISBN 5-9221-0590-6. В книге собрано примерно 700 задач на отыскание экстремумов для конечномерного случая, для задач классического вариационного исчисления, оптимального управления и выпуклого программирования. Содержатся эле- элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа. В книге приведены теория, необходимая для решения задач, и примеры. Ос- Основу решения всех задач составляет единый принцип, восходящий к Лагранжу. Часть задач приведена с решениями. Имеется большое количество трудных задач, которые могут быть использованы в качестве курсовых и дипломных работ. Для студентов вузов по специальностям «Математика» и «Прикладная математика», а также для аспирантов и научных работников. © ФИЗМАТЛИТ, 2005 © В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, ISBN 5-9221 -0590-6 В. М. Тихомиров, 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА В ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 0. 1. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами (9). 0. 2. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями A2). Упражнения A8). Глава I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ § 1. Элементы функционального анализа и дифференциального исчисления 20 1. 1. Нормированные и банаховы пространства B0). Упражне- Упражнения B1). 1. 2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа B3). Упражнения B4). 1. 3. Леммы B5). 1. 4. Определения производных B6). Упражнения B8). 1. 5. Основные теоремы диф- дифференциального исчисления в нормированных пространствах B8). Задачи 32 § 2. Гладкие задачи 35 2. 1. Элементарные задачи C5). 2. 2. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств C7). 2. 3. Гладкая задача с равенст- равенствами и неравенствами (общий случай) C9). 2. 4. Примеры D0). 2. 5. Необходимые условия высших порядков. Достаточные усло- условия D2). 2. 6. Примеры D6). 2. 7. О методе Ньютона D7). Задачи 47 § 3. Элементы выпуклого анализа 52 3. 1. Основные понятия E2). 3. 2. Основные теоремы и формулы выпуклого анализа E3). Упражнения E8). Задачи 58 Оглавление § 4. Выпуклые задачи 60 4. 1. Принцип Лагранжа в выпуклом программировании F0). 4. 2. Теория двойственности F2). 4. 3. Линейное программирова- программирование F5). 4. 4. Выпуклый анализ и теория экстремальных задач F5). Задачи 72 Глава II КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 5. Элементарные задачи классического вариационного исчисления 73 5. 1. Задача Больца G3). 5. 2. Простейшая задача классического вариационного исчисления G7). 5. 3. Примеры (80). 5. 4. Задачи с подвижными концами (84). 5. 5. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия. Теорема Боголюбова (88). 5. 6. Тео- Теория поля. Уравнение Гамильтона-Якоби (90). 5. 7. Примеры (95). Задачи 97 § 6. Изопериметрические задачи 105 6. 1. Принцип Лагранжа для изопериметрических задач A05). 6. 2. Необходимые условия высших порядков и достаточные усло- условия A09).