Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XXXVI. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК С. Д. Алгазин ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТФИЗИКИ. XXXVI. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости. Препринт № 1010 Москва 2012 г. Аннотация. Рассматривается трёхмерная задача о вычислении спектра Коссера первой краевой задачи теории упругости в теле вращения. На доступной для вычислений сетке из 900 узлов получены качественные результаты: найденная Э. и Ф. Коссера в 1898 году по- следовательность собственных значений не описывает всего спектра. The summary. The three-dimensional problem about calculation of a spectrum of Cosserat of the first re- gional problem of the theory of elasticity in a rotation body is considered. On a grid acces- sible to calculations from 900 knots qualitative results are received: found E. and F. Cosse- rat in 1898 the sequence of eigenvalues does not describe all spectrums. ISBN 978-5-91741-038-8 055(02)2 Институт проблем механики РАН 2012 2  Введение. В векторном уравнении статической теории упругости для однород- ной изотропной среды: (0. 1) u graddiv u F ( x), x либо x R3 \ где ω = (1 - 2σ)-1 и σ — постоянная Пуассона, ω рассматривается как спектральный параметр. Ставится задача: исследовать спектр пучка операторов в левой части урав- нения (0. 1) при краевых условиях первой задачи: (0. 2) u 0. Здесь Ω тело вращения вокруг оси (O, x3), x = (x1, x2, x3), G – его меридиональное сечение. Эта задача была поставлена в конце XIX века Эженом Коссера и Франсуа Коссера; ее исследованием в 70-е годы прошлого века этой задачей занимались С. Г. Михлин [42-49] и В. Г. Мазья. В последнее время этой задачей занималась Xanthippi Markenscoff с соавторами (W. Liu, М. Паукшто), [31-41]. Основные результаты получены для упругой области Ω, конечной или бесконеч- ной, с достаточно гладкой конечной границей. В случае первой краевой задачи пучок операторов теории упругости имеет счетную систему собственных векторов, ортого- нальных в метрике интеграла Дирихле; эта система полна в L2 (Ω) и H1 W (1) 2 ( ). Собственные числа сгущаются к трем точкам ω = -1, -2, ∞; точки ω = -1 и ω = ∞ суть изолированные собственные числа бесконечной кратности. Изучение спектра пучка операторов теории упругости началось задолго до появ- ления какой бы то ни было общей спектральной теории операторов. В 1898 -1901 гг. французские математики Эжен и Франсуа Коссера опубликовали серию статей [4 - 12], в которых исследовались собственные числа и собственные векторы пучка опе- раторов (0. 1) при краевых условиях, указанных выше, а также при некоторых чуть более общих условиях, и даны приложения к решению основных задач теории упру- гости. Из закона сохранения энергии вытекает известное неравенство для постоянной Пуассона, -1 < σ < 1/2, справедливое для любой реальной упругой среды (упругие среды с отрицательной σ фактически не известны).