Читать онлайн «Теория степени конечномерных отображений»

11Ги 11111 и 11111 Министерство образования Российской Федерации ВОРОНЕЖ 2002 Математический факультет Кафедра алгебры и топологическга методов анализа Теория степени конечномерных отображений Учебное пособие для студентов 3 курса математического факультета Составители: ДА. Воротников, ВТ. Звягин Введение Хорошо известна роль степени различных классов отображений (ко- (конечномерных и бесконечномерных пространств) для исследования нели- нелинейных проблем анализа и теории дифференциальных уравнений. Как правило, теория степени для различных классов отображений бесконеч- бесконечномерных пространств основывается на соответствующей теории сте- степени отображений конечномерных пространств или многообразий. В настоящем пособии изложена теория степени отображений областей евклидова пространства Rn и дано распространение этой теории в неори- неориентированной ситуации собственных отображений конечномерных мно- многообразий. Изложение теории степени областей евклидова пространства дается вначале с аксиоматической точки зрения, из соответствующих аксиом выводится целый ряд свойств степени отображений, затем доказывается существование и теорема единственности степени отображений Изложение теории неориентируемой степени отображения многообра- многообразий основано на теореме Смейла - Брауна о множестве критических зна- значений и свойстве собственности отображений. Пособие содержит часть материала курса "Теория степени конечно- конечномерных отображений", читаемого студентам математического факуль- факультета в Научно - образовательном центре "Волновые процессы в неодно- неоднородных и нелинейных средах. " Обозначения Мы будем использовать следующие обозначения: множества веществен- вещественных, целых, натуральных чисел обозначаются соответственно символами Д, Z, TV, Rn - арифметическое векторное пространство, где п - его раз- размерность, которая фиксируется раз и навсегда; точка х (или другая бу- буква) из Rn будет обозначаться символом (xi,a:2,... ,a;n); скалярное про- произведение двух векторов х и у будет записываться в виде (#, у) = £ xtyty г=1 а евклидова норма - в виде Ц^Ц — ^/(х,х); метрика, индуцированная этой нормой, р{хуу) = ||ж — у\Ь Мы будем использовать также норму ЦжЦоо = max |хг|, эквивалентную евКлидовой, и метрику Роо(#» у) = ||# —2/||oo; D на г=1 п протяжении всех глав ОУА^Х обозначать открытое ограниченное подмно- подмножество Rn\ такие подМно^ества будем называть областями; открытый шар с центром в точке # Радиуса г будем обозначать Вх{г)\ у множества Т С Rn замыкание обозначается Т, внутренность - intT, граница - дТ; расстояние между множествами Т\ и Т2 - это р(ТъТ2) = inf p{x,y)* Области будем также называть открытыми областями, а замыкания областей - замкнутыми областями. Если мы говорим, что функция непрерывна на Т, то подразумевается, что она там определена. Для отображения / : Т -* Rn через f-p будем обозначать отображение х »-+ f(x) - р. Прообраз множества Тх при отображении /, т. е.