Читать онлайн «Задачник-практикум по геометрии»

СЛ. АТАНАСЯН М. М. ЦЛЛЕНКО ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ГЕОМЕТРИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ С. Л. Атанасян М. М. Цаленко ЗАДАЧ НИ К-ПРАКТИКУМ ПО ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие для студентов-заочников II—V курсов физико-математических факультетов педагогических институтов Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1994 ББК 22. 151 А92 й Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Замахов с кий М. П. доктор физико-математических наук, профессор Мантуров О. В. ; кандидат физико-математических наук, доцент Семенова И. //. ; кандидат физико-математических наук, доцент Парнасский И. В. ; кандидат физико-математических наук Парнасская О. Е. Редактор МГОПИ Смольникова Е. В. Атанасян С. Л. , Цаленко М. М. А92 Задачник-практикум по геометрии: Учеб. пособие для студентов-заочников II—V курсов физ. -мат. фак. пед. ин-тов/ Моск. гос. открытый пед. ин-т. — М. : Просвещение, 1994. — 192 с: ил. — ISBN 5-09-004599-2. Задачник-практикум соответствует программе по геометрии для физико-математических факультетов педагогических институтов. Он содержит задачи по разделам: «Геометрические построения на плоскости>, «Методы изображений» и «Дифференциальная геометрия и топология». Задачник, ориентированный на учебные пособия 1 и 2, призван оказать помощь студентам в приобретении необходимых практических навыков при самостоятельной работе, в выполнении контрольных заданий, а также содействовать более глубокому изучению теоретического материала. А 4309000000—215 „„ оо 1К1 А 103(03)-94 3аКаЗНаЯ ББК 22151 © Московский государственный открытый ISBN 5-09-004599-2 педагогический институт, 1904 Глава I ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ В качестве инструментов построения будем использовать циркуль и линейку. Аксиоматика геометрических построений на плоскости изложена в пособии [1], § 96. Приведем постулаты циркуля и линейки, описывающие шаги построений, которые мы считаем выполнимыми. П 1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки. П 2. Построение окружности с центром в построенной точке и радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках. П 3. Построение точки пересечения двух непараллельных прямых. П 4. Построение точки пересечения построенной окружности и построенной прямой, если они пересекаются. П 5. Построение точек пересечения двух построенных окружностей, если они пересекаются. Кроме того, предполагается, что: а) точки, прямые и окружности, заданные в условии задачи, построены; б) существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построенной прямой или окружности существуют по крайней мере две построенные точки. При решении задачи на построение будем придерживаться традиционной схемы: анализ, построение, доказательство, исследование (см. [1], § 98). Построение будем проводить, ссылаясь на аксиомы П 1 — П 5 или на основные построения, которые будут рассмотрены в § 1. При проведении исследования будем различать два типа задач на построение: а) со связанным решением, если в условии задачи определено расположение искомой фигуры относительно данных; б) со свободным решением, если таких условий нет.