Читать онлайн «Анализ на экстремум (вырожденные случаи)»

Η. А. БОБЫЛЕВ Μ. Α. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ АНАЛИЗ НА ЭКСТРЕМУМ ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ Н. А. БОБЫЛЕВ М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ АНАЛИЗ НА ЭКСТРЕМУМ ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ ПРЕПРИНТ МОСКВА 1981 УДК 517. 97 Бобылев НА. , Красносельский М. А. АНАЛИЗ НА ЭКСТРЕМУМ (вырожденные случаи). Препринт. - М. : Институт проблем управления» 1981. Предлагается алгоритм исследования на минимум вырожденных критических точек функций многих переменных, т. е. критических точек с вырожденной второй вариацией. Описываются деформации функций, при которых критическая точка сохраняет свойство реализовать локяльный или глобальный минимум. Полученные результаты применяются для доказательства различных неравенств, исследования асимптотической устойчивости потенциальных и близких к потенциальным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, устойчивости по Ляпунову гамильтоновых систем и др. Bobylyov N. A. and Krasnosel'skiy MA. EXTREMUM ANALYSIS (Degenerate Casse). Preprint. Institute of Control. Moscow. 1981. An algorithm is suggested whereby functions of many variables are analyzed for the minimum of singular critical points, or critical points with a singular second variance. Function deformations are described with which the critical pount maintains the aditity to realize the local or global minimum. The findings are used in proof of verious inequalities, investigation of asymptotic stability of potential and neap-potential sets of common differential equations, Lyapunov stability of Hamfltonian systems, etc. Рецензент д. т. н. Б Л\ Поляк Утверждено к печати Редакционным советом Института 0»££β19β1 Оглавление 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 5 2. ПРИНЦИП ПОНИЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ 6 3. ПОСТРОЕНИЕ ИНФОРМАТИВНОЙ ФУНКЦИИ 14 4. ОДНОМЕРНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ 19 5. ДВУМЕРНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ 29 6. ГЛОБАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 36 7. ДЕФОРМАЦИИ ФУНКЦИЙ 46 Литература 51 Методы исследования невырожденных критических точек функций многих переменных детально изложены во всех курсах математического анализа {см. , например, [X] г [2]). В то же время для анализа бифуркационных значений параметров, доказательства различных неравенств, исследования сложных функционалов качества важны именно вырожденные критические точки, исследованию которых и посвящена данная работа. При ее написании существенно использованы результаты, изложенные в [3] - [5]. 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Л. Локальный экстремум и критические точки. Пусть функция v = f(x) (1. 1 ) определена на вещественной оси R - (- °° , °°) . Точка xQ€R называется точкой локального (строгого локального) минимума функции (1Л ), если в некоторой ее окрестности выполнено неравенство f(x)>f(xQ) (неравенство f(x)>f(xQ) при \Фх0) . Аналогично определяются точки локального и строгого локального максимума. Точки локального минимума и локального максимума функции (1. 1 ) называются точками ее экстремума. Если функции (1. 1 ) дифференцируема, то ее критическими точками называются корни уравнения f'(x) β 0 . (1. 2) Будем изучать точки минимума функции (1. 1 ).