Читать онлайн «Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей»

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ А. А. ТУЖИЛИН, А. Т. Главный редактор серий — Президент Московского математи- математического общества академик С. П. Новиков. ОГЛАВЛЕНИЕ Тужилин А. А. , Фоменко А. Т. Элементы геометрия в топологии минимальных поверхностей. — М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. 1991. — С. 176. — (Совр. мат. для студентов). — ISBN 5-02-014811-3. В популярной форме рассказывается об одном из самых интри- интригующих разделов современной геометрии — о минимальных по- поверхностях в трехмерном пространстве. Такие поверхности моде- моделируют границы раздела физических сред с одинаковыми давле- давлениями и возникают в самых разных областях современной науки. Основана на материале лекций, прочитанных А. Т. Фоменко на механико-математическом факультете МГУ, в том числе в рамках известного цикла «Студенческие чтения», организованного Москов- Московским математическим обществом. Книга снабжена богатым иллюст- иллюстративным материалом. Для студентов, аспирантов и научных работников — математи- математиков, физиков и механиков, интересующихся приложениями мето- методов современной геометрии. Ил. 69. Библиогр. 40 назв. физматлит, J99t Введение . • . » « • • 5 Глава 1. Физические предпосылки 7 § 1. Поверхности раздела двух сред ... ... 7 1. Мыльные пленки и мыльные пузыри ... . 7 2. Теорема Пуассона — Лапласа 9 § 2. Принцип экономии в природе 13 1. Оптимальность и Природа 13 2. Минимальные поверхности и оптимальность 15 3. Задача Штейнера ... . ,. . ,. . IS Глава 2. Классические минимальные поверхности в К 23 § 1. Катеноиды . 24 § 2. Геликоиды 36 § 3. Уравнение минимальных поверхностей. Проблема Бернштейна. Поверхность Шерка 45 1. Уравнение минимальных поверхностей в R3 5 2. Проблема Бернштейна в R3 . . . и • 47 3. Поверхность Шерка и принцип симметрии 49 § 4. Периодические минимальные поверхности ... 51 § 5. Полные минимальные поверхности ... . . 54 Глава 3. Общие свойства минимальных поверхностей в R 58 § 1. Изотермические координаты 59 § 2. Гармоничность и конформность 64 § 3. Гауссово отображение, представление Вейерштрасса 73 § 4. Глобальное представление Вейерштрасса ... 85 § 5. Полная кривизна и полные минимальные поверх- поверхности , 94 3 § 6. Геометрия полных минимальных поверхностей ко- конечной полной кривизны . 106 § 7. Индексы двумерных минимальных поверхностей в К» , , , 119 Добавление 1. Задача Штейнера для выпуклых граннц 137 1. Общая постановка задачи ... »»,. 137 2. Классификация минимальных 2-деровьев с вы- выпуклой границей ... ... ... . 144 3. Некоторые результаты исследования минималь- минимальных сетей, затягивающих вершины правильных многоугольников . . ,. ,. ,,. . 158 Добавление 2.