Читать онлайн «Интегрирование в гильбертовом пространстве»

ω со Ε Α. Β. ο Χ 03 α Ε ο ο α с Ο СО ί и Φ Ю i -- οχ од • · · : - . · - · · : · со • · χ 03 Ш ο ο- ω ε χ Ш Ш А. В. СКОРОХОД Интегрирование в гильбертовом пространстве ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1 975 517. 8 С 44 УДК 519. 21 Интегрирование в гильбертовом пространстве. А. В. Скороход. Главная редакция физико-математиче- ской литературы издательства «Наука», 1975. В книге последовательно излагаются основные понятия и факты теории меры и интеграла в гильбертовом пространстве, в том числе и такие, которые раньше излагались лишь в теории случайных процессов. К важнейшим вопросам, рассмотренным в книге, относятся такие, как построение ортогональных систем функций, абсолютная непрерывность мер и вычисление плотности одной меры относительно другой, теория квазиинвариантных мер, преобразование мер при преобразовании пространства, поверхностные интегралы и формула Грина в гильбертовом пространстве. Значительная часть материала книги публикуется впервые. В примечаниях, помещенных в конце книги, сделана попытка осветить роль различных авторов в разработке тех или иных вопросов. Книга полезна студентам старших курсов, аспирантам и научным работникам. 20203—141 С 60-75 053 (02)-75 (с) Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Введение 7 Глава I. Определение меры в гильбертовом пространстве 10 § 1. Измеримое гильбертово пространство 10 § 2. Слабые распределения 13 § 3. Характеристический функционал. Моментные функционалы 23 § 4. Теорема Минлоса—Сазонова 28 § 5. Гауссовы меры 31 § 6. Обобщенные меры в гильбертовом пространстве . . 38 Глава II. Измеримые функции на гильбертовом пространстве 42 § 7. Измеримые линейные функционалы 42 § 8. Измеримые линейные операторы 48 § 9. Измеримые полиномиальные функции 53 § 10. Квадратично интегрируемые полиномы 62 §11. Ортогональные системы полиномов 69 § 12. Полиномы, ортогональные с некоторым весом ... 74 Глава III. Абсолютная непрерывность мер 80 § 13. Теорема Радона—Никодима. Условные меры ... 80 § 14. Мартингалы и полумартингалы 88 § 15. Общие условия абсолютной непрерывности ... . 97 § 16. Абсолютная непрерывность продакт-мер 107 § 17. Абсолютная непрерывность гауссовых мер 117 § 18. Абсолютная непрерывность смешанных мер . . . . 130 Глава IV. Допустимые сдвиги и квазиинвариантные меры 139 § 19. Допустимые сдвиги меры 139 § 20. Допустимые направления 150 § 21. Дифференцирование меры по направлению 155 § 22. Одно условие допустимости сдвига 165 § 23. Квазиинвариантные меры 174 1* 3 Глава V. Некоторые вопросы анализа в гильбертовом пространстве 188 § 24. Формула замены переменной и абсолютная непрерывность 188 § 25. Линейные преобразования 193 § 26. Абсолютная непрерывность мер при нелинейных преобразованиях 203 § 27. Интегралы по поверхности 209 § 28. Формула Гаусса 218 Примечания 225 Литература 229 ПРЕДИСЛОВИЕ Интегрирование в функциональных пространствах возникло в теории вероятностей при построении общей теории случайных процессов.