Читать онлайн «Теория фазовых переходов»

Я. Г. Синай ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Строгие результаты М: Наука. Главная редакция физжко-математической литературы, 1980. В теории фазовых переходов в последнее время широко применяются современные математические методы исследования. Ряд этих методов отражен в книге. В основе лежит формализм, позволяющий изучать непосредственно бесконечные системы статистической механики в пространстве или на решетке. Последовательное применение этого формализма дает возможность строить фазовые диаграммы решетчатых систем при низких температурах (вторая глава), исследовать отсутствие или наличие спонтанного нарушения непрерывной симметрии (третья глава). В четвертой, последней, главе развивается математический подход к методу ренормгрушш Вильсона — Каданова — Фишера. Для научных сотрудников, а также студентов старших курсов и аспирантов в области теоретической и математической физики. Предисловие 4 Глава 1. Предельные распределения Гиббса 9 § 1. Гамильтонианы 9 § 2. Примеры гамильтонианов 14 § 3. Предельные распределения Гиббса 17 § 4. Примеры 22 § 5. Существование предельных распределений Гиббса 31 § 6. Предельные распределения Гиббса для непрерывных полей и для 44 точечных полей Библиографические замечания к главе 1 47 Глава 2. Фазовые диаграммы классических решетчатых систем. 49 Контурный метод Пайерлса § 1. Введение 49 § 2. Основные состояния 57 § 3. Основные состояния возмущенного гамильтониана 60 § 4. Фазовые переходы в двумерной ферромагнитной модели Изинга 64 § 5. Основное утверждение и его следствия 69 § 6. Контуры 73 § 7. Контурные модели 77 § 8. Корреляционные функции для контурных моделей в бесконечном 81 объеме § 9. Контурная статистическая сумма 86 § 10. Доказательство основной теоремы 2. 1 91 §11. Дополнительные замечания 99 Библиографические замечания к главе 2 105 Глава 3. Решетчатые системы с непрерывной симметрией 108 § 1. Введение 108 § 2. Отсутствие спонтанного нарушения непрерывной симметрии в 112 двумерных моделях § 3. Теорема Саймона — Спенсера — Фрелиха о существовании в спонтанной намагниченности классической модели Гейзенберга 121 Библиографические замечания к главе 3 132 Глава 4. Фазовые переходы 2-го рода и метод ренормгруппы 133 § 1. Введение 133 § 2. Иерархические модели Дайсона 135 § 3. Гауссовское решение 143 § 4. Область с < V2 163 § 5. Автомодельные распределения вероятностей 166 § 6. Гауссовские автомодельные распределения 169 § 7. Пространство гамильтонианов и определение линеаризованной 171 ренормгруппы § 8. Линеаризованная ренормгруппа и ее спектр в случае гауссовских 175 автомодельных распределений § 9. Точки бифуркации, негауссовские автомодельные распределения, s- 188 разложения Библиографические замечания к главе 4 195 Заключение 197 Литература 200 Предметный указатель 205 Предметный указатель Версальное семейство функций 105 - собственный для линеаризованной Ветвь бифуркационная 193 ренормгруппы 174, 184 Взаимодействие бинарное 11 - трансляционно-инвариантный 13 - быстро убывающее 171 - - порожденный потенциалом 172 Вырождение основного состояния 51 - четный 145 Гамильтониан 12 - Янга — Миллса 17 - G-инвариантный 13 Гауссовские автомодельные - относительный 56 распределения 169 - периодический 13 Граница 77 - конфигурации 59 Граничные условия - - периодические 21 - - свободные 21 Граничный функционал 81 Группа симметрии гамильтониана 12 - - непрерывной 108 Классический ротатор 16 Контур 74 - конфигурации 74 - - внешний 76 Контурный функционал 78 - - периодический 79 Контуры конгруэнтные 88 - согласованные 77 Конфигурация 10 Корреляционные функции границы 80 - - контурной модели 80 Критическая точка для иерархических моделей 139, 140 - - ферромагнитная 133 Критические индексы 135 Малое отклонение от конфигурации 57 Малые возмущения ферромагнитной модели Изинга 71 Масса голая 102 Модель Гейзенберга 111 - - двумерная 120 - X: ф4:2 100 - Дайсона иерархическая 136 - двумерной квантовой теории поля 26 - Изинга 15 - - с внешним полем 15 - - антиферромагнитная 15, 73 - - с внешним полем 15 - - ферромагнитная 15, 64 - - с несколькими значениями спина 72 - контурная 77, 79 - теории поля 26 Неравенство Пайерлса 65 Область для иерархических моделей Дайсона Р<РСТ 160 --р>рст161 - притяжения автомодельных распределений 192 Обобщенный случайный процесс 168 Основное интегральное уравнение для иерархических моделей 140 Основное состояние 58, 109 - - асимптотически локальное 102 - - абсолютное 102 - - в квантовой теории поля 101 - - изолированное 58 - - периодическое 58 Полиномы Эрмита 144, 145 - Эрмита — Ито 175 - - гамильтониана 175 Полугруппа, сопряженная к ренормгруппе в пространстве распределений 167 Поля гауссовские стационарные 22 - марковские с многомерным временем 22 - Япга — Миллса 16 Потенциал 11 Потенциалы гомологичные 178 Предел в смысле Ван-Хова 86 Преобразование Березинского 27 Пространство гамильтонианов 172 - граничных функционалов 81 Радиус взаимодействия 11 Распределение вероятностей автомодельное гауссовское 169 - - в решетчатых моделях 167 - - в непрерывных моделях 168 - - негауссовское 188 - Гиббса предельное 18 Распределение Гиббса предельное непрерывных полей 45 - - неразложимое 40 - - построенное по гамильтониану и мере 20 - - регулярное 40 - - решетчатых моделей квантовой теории поля 40 - - точечных полей 47 - - условное 18 - затравочное 142 Ренормгруппа 167 - линеаризованная 174 Решение гауссовское 143 - негауссовское 163 Связанное множество решетки 74 Случайное решетчатое поле 10 Снятие вырождения основного состояния 63 Спектр линеаризованной ренормгруппы 186 - - для гауссовского автомодельного распределения 181 Спектральная плотность гауссовского автомодельного распределения в многомерном случае 170 - - в одномерном случае 169 Спонтанное нарушение симметрии 51 Статистическая сумма 18 - - кристаллическая 76, 79 - - параметрическая контурная 89 - - разреженная 76, 79 Стратификация 105 Теорема Добрушина 34 - Добрушина — Шлосмана 112 - Пайерлса 64 - Прохорова 33 - Саймона — Спепсера — Фрелиха 122 Точки бифуркации 188 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга 80 Условие Пайерлса 60 Устойчивость решения термодинамическая 141 - основного состояния 109 Фаза чистая 70 - - термодинамическая 50 Фазовая диаграмма 51 Функционал граничный 81 Функция компактная 32 Цепи Маркова 15, 22 Энергия конфигурации 12 - - полная 12 ПРЕДИСЛОВИЕ Идея написания этой книги появилась во время моих лекций по математическим проблемам статистической физики, которые я читал в Институте математики Академии наук Венгрии летом 1976 года.