Читать онлайн «Математический анализ. Мощность.Метрика.Интеграл»

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Московский государственный заочный педагогический институт Н. Я. Виленкин, М. Б. Балк, В. А. Петров МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОЩНОСТЬ. МЕТРИКА. ИНТЕГРАЛ Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физико-математических факультетов педагогических институтов МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1980 Рекомендовано к печати Главным управлением высших и средних педаго- педагогических учебных заведений Министерства просвещения РСФСР Редактор МГЗПИ — О. Л. Павлович Рецензенты: М. И. Граев, Л. С. Симонов, В. Ф. Молчанов, М. Ф. Бокштейн, Ф. Л. Кабаков, Е. Л. ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным посо- пособием для студентов педагогических институтов по следующим раз- разделам программы курса «Математический анализ»: «Элементы те- теории множеств», «Метрические пространства», «Полные метриче- метрические пространства», «Интеграл Лебега», «Ряды Фурье». Первая глава посвящена изучению бесконечных множеств и со- содержит основные теоремы о мощности множеств, о счетных множе- множествах и о множествах мощности континуума. Во второй главе рассматриваются метрические пространства и, в частности, линейные нормированные пространства. Из методиче- методических особенностей главы выделим здесь построение теории откры- открытых и замкнутых множеств на базе понятия граничной точки (а не на базе понятия «предельной точки», как это общепринято в учеб- учебных пособиях); определение связности пространства основано на понятии непрерывного отображения. В эту главу включено изложение вопроса о пополнении метри- метрических пространств (который выходит за рамки программы, но, по мнению авторов, весьма существен для различных разделов мате- математики, в том числе и для более глубокого осмысления школьной математики). Теорема о неподвижной точке использована для до- доказательства теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка (авторы полагают, что доказательство аналогичной теоремы для систем уравнений не вносит новых мате- математических идей и поэтому — по крайней мере, в пособии для за- заочников — может быть опущено). Третья глава содержит материал, относящийся к теории инте- интеграла и меры Лебега. Излагаемый здесь подход к этой теории, принадлежащий Н. Я. Виленкину и развитый В. А. Петровым, не встречается в известной нам литературе. При таком подходе нет необходимости до построения класса суммируемых функций пред- предварительно рассматривать интеграл от ограниченных функций. Здесь сразу строится класс суммируемых функций (в том числе и на неограниченном измеримом множестве). При этом изложении лучше вскрывается наглядный смысл интеграла Лебега. Глава заканчивается рассмотрением полных пространств интегрируемых функций и ортогональных систем функций в L2 [О; 2я]. Каждый параграф завершается вопросами для самопроверки и списком номеров задач по книге В. А.