Читать онлайн «Что такое неэвклидова геометрия»

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ П. С. АЛЕКСАНДРОВ действительный член АПН РСФСР ЧТО ТАКОЕ НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР Москва 1950 H. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ :»}»+«а«р*-0с Посвящается памяти моего учителя Александра Романовича Зйгеса ПРЕДИСЛОВИЕ Эта маленькая книга представляет собою второе* лишь немного видоизмененное, издание моей статьи, опубликованной под тем же названием в сбор- нике „Николай Иванович Лобачевский**, изданном в 1943 г. Государственным издательством технико-теоретической литературы к 150-летию со дня рождения великого геометра и состоящем из трех статей (кроме переиздаваемой ныне статьи, в сборник входила еще составленная мною же статья биографического характера и статья А. Н. Колмогорова „Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века44). Предлагаемая вниманию читателя в отдельном издании статья моя не является даже и кратким учебником неэвклидовой геометрии и не претендует заменить имеющиеся в русской литературе систематичен ские изложения этой дисциплины. Моя цель совсем другая: я стремлюсь лишь ввести читателя в основные наиболее принципиальные идеи неэвклидовой геометрии и представить эти идеи в возможно компактной форме и в возможно тесной связи с другими геометрическими идеями (прежде всего с проективной геометрией, а также, конечно, и с задачей обоснования геометрии). Я начинаю с изложения общепринятой в настоящее время аксиоматики эвклидовой геометрии, ввожу при этом в связи с аксиомами конгруэнтности понятие движения и заканчиваю эту часть книжки аксиомой параллельных Эвклида и Лобачевского. При этом дается много образцов доказательства теорем элементарной геомГетрии, однако, при малом объеме книги, я, естественно, не мог ставить себе задачи полного построения системы элементарной геометрии со всеми доказательствами, отправляясь от аксиом и определений: решение этой задачи 3 Означало бы написание нового курса оснований гео- 1 метрии, что я не имёл*^ не мог иметь в виду. I Вторая часть книги посвящена в основном по- I строению и исследованию двух моделей геометрии 1 Лобачевского (модель Клейна и модель Пуанкаре) 1 и получающемуся из этого исследования доказатель- | ству непротиворечивости названной геометрии. Изло- 1 жение здесь ведется с привлечением основных поня- I тий проективной геометрии в их аналитической форме. I Этим подготавливается почва и для того, чтобы I в третьей, последней, части книги ввести читателя I и во вторую неэвклидову геометрию — в геометрию I эллиптической плоскости, что, в свою очередь, через I посредство сферической геометрии, подводит нас к J вопросу о дифференциально-геометрической реализа- | ции неэвклидовой геометрии. Изложение, которое я | стремился вести с наибольшей наглядностью, содер- | жит, как мне кажется, достаточно доказательств, II чтобы удовлетворить естественную любознательность 1 читателя и в отношении л01ики всего построения, 1 но все же некоторые точно сформулированные тео- 1 метрические факты приводятся без доказательств.