Читать онлайн «Топология для физиков»

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Московский физико-технический институт , Ю. Л. БЫЧКОВ ТОПОЛОГИЯ ДЛЯ ФИ 3 И КО* Учебное пособие Москва 1993 УДК 530. 145 Топология для физиков: Учеб. пособие/ Ю. А. Бычков; МФТИ. М. , 1993. 108 с: ил. Пособие представляет собой расширенный вариант лекций, читаемых в рамках курса теоретической физики в Московском физико-техничес- хом институте для студентов старших курсов. В пособии рассмотрены основные понятия и методы топологии, ис- используемые в современной физике твердого тела и квантовой теории поля. Изложены основы теории гомотопических, гомологических и ко- когомологических групп, а также простейшие методы их вычисления. Кратко рассмотрена дифференциальная геометрия расслоений (косых произведений топологических пространств) и связанное с ними поня- понятие характеристических классов. Пособие посвящено тем проблемам топологии, которые позволяют исследовать тонкие вопросы теории дефектов в упорядоченных систе- системах, проблему фазы Берри, а также различного рода монополии и инстантоны в теории калибровочных полей. Библиогр. : II назв. Ил. 13. ' Печатается по решению редакционно-издательского совета Московского физико-технического института Рецензенты: кафедра теоретической ядерной физики Московского инженерно-физического института д. ф,- м. н. В. П. 1урарий . (с) Ю. А. Бычков,1993 I*BN WJOЮвМ-* ^ Оглавление Введение . 4 1. Основные понятия. Топологическое пространство 5 2. Непрерывные отображения пространств. Гомеоморфизм 10 3. Многообразия . 13 4. Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование 15 З. Гомотопии. Степень отображения 18 б. Фундаментальная группа. Симплексы 25 7. Гомотопические группы 35 8. Накрытие • 40 9. Топологически стабильные дефекты 43 ю. Гомологические группы 46 11. Когомологии. Обобщенная теорема Стокса 59 12. Монополь Дирака 68 13. Гадкие расслоения (косые произведения пространств). . 71 14. Группа Ли и алгебра Лг 80 15. Калибровочные поля 84 16. Характеристические классы 88 17 . Инстантон . , 94 18. Фаза Берри юо 19. Список литературы ios ВвеОекие Отличительной чертой современной физики является все более широкое проникновение в нее методов агиологии - раздело математики, еще недавно казавшегося столь же далеким от физики, как в свое время теория групп. В настоящее время топология используется при исследовании очень широкого круга проблем, пслючаицего в себя кван- квантовую теорию поля и физику конденсированного состояния. В честнос- честности, "опологические соображения привели к открытию исключительно ажных физических объектов - различного рода монополей и инстанто- нов. С другой стороны, топология позволила произвести классификацию дэфзктов в упорядоченных системах. достижение самых последних лет - это весьм" тонкий анализ явлений, связанных с дробным квантовым эффектом Холла. Перечисление разделов физики, в которых находят применение топологические методы,можно было бы продолжить и дальше. Но уже приведенные примеры говорит о большой универсальности топо- топологических соображений, позволяющих, в конечном счете, исследовать свойства решений физических уравнений, ке решая их самих.