Читать онлайн «Сходимость и асимптотическое разложение сингулярных интегралов»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский государственный университет печати Е. И. Бережной, Б. И. Голубов, A. M. Дьячков СХОДИМОСТЬ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Монография Москва 2005 УДК 517. 39+517. 52 ББК 22. 161 Б48 Рецензенты: М. И. Дьяченко, д-р физ. -мат. наук, профессор МГУ; А. М. Седлецкий, д-р физ. -мат. наук, профессор МГУ Бережной Е. И. , Голубов Б. И. , Дьячков А. М. Б48 Сходимость и асимптотическое разложение сингулярных интегралов: Монография / Е. И. Бережной Б. И. Голубов, A. M. Дьячков; Моск. гос. ун-т печати. - М. : МГУП, 2005. - 130 с. ISBN 5-8122-0842-5 В монографии рассматриваются вопросы сходимости и асимптотического разложения по параметру сингулярных интегралов, зависящих от одной или многих переменных. Монография предназначена для специалистов по действительному анализу, а также студентов и аспирантов, специализирующихся в указанной области. УДК 517. 39+517. 52 ББК 22. 161 ISBN 5-8122-0842-5 © Бережной Е. И. , Голубов Б. И. , Дьячков A. M. , 2005 © Московский государственный университет печати, 2005 3 Оглавление Предисловие 4 Вводные сведения 6 0. 1. Задача Лебега 6 0. 2. Определения и обозначения 11 Глава 1. Задача Лебега для функций одной переменной 16 1. 1. Результаты Лебега 16 1. 2. Задача Лебега для пространств Lp 17 1. 3. Задача Лебега для более общих пространств 20 1. 4. Задача Лебега для d-точек 25 Глава 2. Задача Лебега для кратных сингулярных интегралов 28 2. 1. Интегралы по прямоугольникам 28 2. 2. Интегралы по измеримым множествам 33 2. 3. Интегралы в симметричных пространствах 35 2. 4. Дифференциальные базисы 49 2. 5. Обобщения теоремы Коренблюма 60 Глава 3. Сингулярные интегралы типа свертки и их асимптотическое разложение 69 3. 1. Обобщенная задача Лебега 69 3. 2. Сингулярные интегралы, зависящие от параметра по типу мультипликативной свертки 83 3. 3 Ограниченное асимптотическое разложение 87 3. 4. Устойчивая (некасательная) сходимость сингулярных интегралов 90 3. 5. Сингулярные интегралы с радиальным ядром. Обобщенный сферический и шаровой лапласиан 99 3. 6. Обобщение теоремы Крейна - Левина 108 Задачи, связанные с сингулярными интегралами 121 Список литературы 124 4 Предисловие Сингулярные интегралы впервые появились в теории рядов и интегралов Фурье. По-видимому, первым примером сингулярного интеграла является интеграл Фурье. Он возник в работах Фурье в начале XIX века как средство представления функции, заданной на всей числовой оси. Затем в первой трети XIX века появился сингулярный интеграл Дирихле. Через него выражаются частные суммы ряда Фурье периодической функции. После этого в исследованиях, посвященных вопросам суммирования рядов и преобразований Фурье, появились другие примеры сингулярных интегралов - интегралы Абеля - Пуассона, Гаусса - Вейерштрасса, Балле Пуссена, Фейера и др. В начале двадцатого столетия стала активно развиваться общая теория ортогональных рядов. Частные суммы ряда Фурье по любой ортогональной системе могут быть записаны в виде некоторого интеграла.