Читать онлайн «Нормы матриц и их приложения»

УДК 513. 8 Нормы матриц и их приложения / Белицкий Г. Р. , Любич Ю. И. — Киев; Наук, думка, 1984. —160 с. В монографии впервые дано систематическое изложение теории норм матриц. Нормы являются эффективным и гибким аппаратом исследования свойств матриц, а также средством для разнообразных оценок, необходимых во многих областях математики и ее приложений. Прослеживаются некоторые интересные связи с теорией графов. Освещается широкий круг приложений, среди которых спектральные задачи, теория устойчивости, конечные марковские цепи, вычислительные процессы. Предназначена ддя математиков, интересующихся алгеброй, анализом и их приложениями, а также студентов вузов еоответствующих специальностей. Рис. 9. Библиогр. : с. 153—156 G9 назв. ). Ответственный редактор в. А. ткаченко Рецензенты л. а. пастур, м. и. В алгебре матриц естественно ограничиться нормами, имеющими кольцевое свойство \\ Л В || ^ || А || • || В || (и || / || = 1), однако в остальном матричная норма произвольна. Если матрицы трактовать как линейные операторы в вектор- н эм пространстве Е, то, нормируя Е, мы автоматически нормируем и алгебру матриц. Полученные таким образом матричные нормы называются one» раторными (или индуцированными). В течение некоторого времени они были единственным известным классом матричных норм. И только вследствие найденной в 1963 г. Ю. И. Любичем (и независимо в 1964 г. Дж. Сто- ером) характеризации операторных норм как минимальных элементов структуры поточечного порядка на множестве всех матричных норм появились другие примеры. Указанную структуру детально изучал затем Г. Р. Белицкий. В этом направлении наиболее важным результатом является теорема о том, что все автоморфизмы данной структуры в определенном смысле внутренние. В целом была построена довольно обширная теория, излагаемая в гл. 3, 4 настоящей монографии. Гл. 1 имеет в основном подготовительный характер, два ее первых параграфа— чисто вводные, но, начиная с §'3, демонстрируется ряд содержательных ситуаций, в которых полезны матричные нормы. В гл. 2 достаточно полно исследуется граничный спектр сжатий. Это достигается в значительной мере путем комбинаторного анализа, восходящего к Г. Фробениусу, но детально разработанного лишь после появления заметки Г. Виландта A950), посвященной столетию со дня рождения Фро- бениуса. Новое направление открыли работы В. Птака и его сотрудников, где были введены и в ряде случаев вычислены так называемые критические показатели. Этот круг вопросов далеко не исчерпан и в настоящее время. В монографии указаны еще некоторые нерешенные вопросы, а среди решенных, несомненно, найдутся такие, которые могут быть источником новых задач. Мы описываем разнообразные приложения матричных норм не только ввиду их важности, но и для того чтобы проиллюстрировать принцип «подгонки» нормы к ситуации.