Читать онлайн «О письменных вступительных экзаменах по математике на естественных факультетах МГУ (1966 и 1967 гг.)»

Г. В. ДОРОФЕЕВ, М. К. ПОТАПОВ, Н. X. РОЗОВ О ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКУЛЬТЕТАХ МГУ (1966 и 1967 гг. ) (Для учащихся подготовительных курсов при МГУ) ИЗДАТЕЛЬСТВО /МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1 969 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей брошюре собраны материалы вступительных экзаменов по математике, проводившихся на естественных факультетах МГУ в 1966 и 1967 гг. В разделах II и III приводятся тексты вариантов в том виде, в каком они предлагались поступавшим на географический, геологический, биолого-почвенный, химический, физический и механико-математический факультеты Московского университета. Кроме того, в каждом параграфе раздела разобран один из приведенных вариантов. Остальные варианты предлагаются для самостоятельного решения. Раздел I посвящен разбору отдельных теоретических вопросов, которые, как показывает опыт вступительных экзаменов, вызывают у поступающих серьезные затруднения. Брошюра подготовлена по просьбе дирекции подготовительных курсов естественных факультетов МГУ и предназначена в первую очередь для учащихся этих курсов. Раздел I НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Здесь рассматриваются три вопроса: решение уравнений и неравенств, геометрические задачи на сечения тел и решение уравнений и неравенств, содержащих параметры. Такие задачи часто встречаются на экзаменах, и как показывает практика, бывают трудны для многих поступающих. § 1. О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С уравнениями и неравенствами, предлагающимися на экзаменах, складывается странная ситуация. Эти задачи не принадлежат к числу трудных — об этом свидетельствует то, что большинство поступающих, по их мнению, с ними справляется. В то же время очень и очень многим поступающим предложенные решения не засчитываются — сделать это не позволяют грубые ошибки, имеющиеся в этих решениях. Но эта ситуация представляется странной только на первый взгляд, и за ее объяснением далеко ходить не приходится. Дело в том, что у многих окончивших среднюю школу имеется огромный разрыв между приобретенными техническими, вычислительными навыками и сознательным пониманием тех теоретических, логических основ, без которых правильно решить задачу невозможно (разве что случайно, на что рассчитывать, конечно, бессмысленно). Это и проявляется на экзамене: упростить уравнение или неравенство с помощью безошибочно проведенных выкладок может большинство, но заметить, как и почему эти выкладки приводят к потере или приобретению решений, может далеко не всякий, а очень многие об этом даже и не задумываются. Другие же, хотя и зна- 3 ют некоторые относящиеся сюда теоретические положения, но знают их формально, как некоторую инструкцию, и проявляют полную беспомощность в аналогичной, только чуть-чуть измененной ситуации. Скажем, школьникам хорошо известно, что при возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни, но сколько раз приходится видеть, когда возведение в квадрат применяется к тригонометрическому уравнению без последующего отбрасывания лишних корней!