Читать онлайн «Выпуклые тела»

Л. А. ЛЮСТЕРНИК ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ МОСКВА 1936 ЛЕНИНГРАД АННОТАЦИЯ Книжка „Выпуклые тела" посвящена таким вопросам геометрии, которые как по своей постановке, так и по их решению интересны и доступны для молодежи (характерно, что многие ученые занимались ими в свои юные годы); в нее включены теорема Эйлера о многогранниках, теорема Коши о жесткости выпуклых многогранников и некоторые результаты Минковского. На этих задачах автор в доступной форме знакомит читателя с научной постановкой задач геометрии. Для чтения первых трех глав требуется знание элементарной геометрии; последняя глава требует знания элементов высшей математики. Книга интересна для школьников, студентов младших курсов и учителей. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книжка должна ознакомить читателя с некоторыми интересными свойствами выпуклых фигур. Ее первые три главы требуют знакомства только с элементарной геометрией и рассчитаны преимущественно на учащихся старших классов средней школы, интересующихся математикой. Последняя глава требует знакомства с элементами высшей математики. Автор преследовал цель дать материал для работы математических кружков учеников старших классов средней школы и студентов младших курсов высшей школы. Л. А, Люсгпернш. СОДЕРЖАНИЕ Стр. Предисловие 3 Глава I Основные понятия § 1. Плоские выпуклые фигуры 7 § 2. Опорные прямые; выпуклые многоугольники 11 § 3. Выпуклые трехмерные тела 17 § 4. Выпуклые сферические фигуры - 20 Гл а ва II Выпуклые многогранники § 5. Теорема Эйлера 22 § 6. Доказательство теоремы Эйлера 24 § 7. Теорема Коши 2Θ § 8. Преобразования выпуклых многоугольников 27 § 9. Доказательство теоремы Коши 30 Глава III Тела в целочисленной сети § 10. Целочисленная сеть 33 | 11. Теорема Минковского 35 § 12. Заполнение плоскости симметричными выпуклыми многоугольниками 38 § 13. Трехмерный случай 43 § 14. Теорема Биркгофа · 44 Глава IV Линейные системы выпуклых тел § 15. Предварительные замечания 47 § 16. Линейные операции над выпуклыми фигурами 49 § 17. Линейные системы выпуклых многоугольников 53 § 18. Проекция и длина как смещенная площадь 61 § 19. Некоторые неравенства · 63 § 20. Неравенство Брунна-Минковского 67 § 21. Геометрическая интерпретация неравенства Брунна-Минковского . . 71 § 22. Следствия из неравенства Брунна-Минковского 74 Глава I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 1. Плоские выпуклые фигуры Выпуклые фигуры. Плоская фигура называется выпуклой, если она содержит целиком всякий отрезок, соединяющий две ее точки (черт. 1). Круг (внутренность круга вместе с границей) есть выпуклая фигура. В самом деле, если соединить прямолинейным отрезком любые две точки А и В круга, то весь отрезок АВ принадлежит кругу. Другими примерами плоских выпуклых фигур могут служить: треугольник, параллелограм, эллипс, полукруг (внутрен- Черт. 1. Черт. 2. ность вместе с границей) и т. д. На черт. 2 изображена невыпуклая плоская фигура: отрезок АВ, соединяющий точки А и В этой фигуры, не принадлежит ей целиком.