АКАДЕМИЯ НАУК УССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
С. Ф. ФЕЩЕНКО, Н. И. ШКИЛЬ, Л Д. НИКОЛЕНКО
АСИМПТОТИ-
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕН-
. ЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
«НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ—1966
В книге излагаются асимптотические 517. 2
методы интегрирования линейных диф- Ф47
ференциальных уравнений с медленно
меняющимися коэффициентами, встре-
встречающихся во многих областях физики и
техники. Книга рассчитана на широкий круг
инженерно-технических и научных ра-
работников, интересующихся вопросами
приближенного интегрирования диффе-
дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами, в частности уравнени-
уравнениями, описывающими колебательные про-
процессы. Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
Ю. Л. Дале цкий
2—2—3
7-вв-злтл
Введение
. Решение многих задач физики и техники сводится, как известно,
к исследованию дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами. Так как лишь в исключительных случаях уда-
удается получить точное решение такого уравнения, то приходится
прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных
уравнений,важное место занимают асимптотические методы, в ос-
основе которых лежит идея разложения искомого решения в фор-
формальный ряд по степеням некоторого малого параметра. И, хотя
при этом степенные ряды являются, как правило, расходящимися,
тем не менее приближенное решение — решение, получаемое пу-
путем обрыва формальных рядов на каком-то m-ом члене, — оказы-
оказывается весьма пригодным для целого ряда практических расчетов. Получаемое таким путем приближенное решение имеет асимптоти-
асимптотический характер в том смысле, что оно стремится к соответствую-'
щему точному решению не с увеличением числа /и, а при фиксиро-
фиксированном т и при стремлении к нулю малого параметра. Так как асимптотические методы дают возможность получить
аналитическое выражение приближенного решения, то последнее
пригодно также и для исследования качественной картины пове-
поведения решения на достаточно большом, хотя и конечном, интервале
изменения независимой переменной (см. , например, работу [118])
В настоящей монографии излагаются асимптотические методы
интегрирования определенного класса линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, а именно уравнений, в которых коэффициенты
являются функциями медленного времени т = et, где в — малый
положительный параметр, свидетельствующий о том, что коэффициен-
коэффициенты уравнения меняются медленно, т. е.
их производные по неза-
независимой переменной t пропорциональны малому параметру 8. Дифференциальные уравнения с медленно меняющимися коэф-
коэффициентами часто встречаются на практике. К ним приводятся,
например, уравнения с малым параметром при старших произ-
производных, исследованию которых посвящены работы А. Н. Тихонова
[78—80], И. С. Градштейна [16—17], В. М. Волосова [13—14],
А. Б. Васильевой [9—11], К. В. Задираки [26—28], М. И. Вишика,
Л. А. Люстерника [12] и других.