Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. X. РОЗОВ
Дифференциальные
уравнения
с малым параметром
и релаксационные
колебания
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975
517. 2
M71
УДК 517. 9
Дифференциальные уравнения с малым параметром
и релаксационные колебания, Е. Ф. Мищенко,
Н. X. Розов. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975, стр. 248. Монография посвящена изложению метода построе-
построения асимптотических решений нормальных автономных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений
с малым параметром при некоторых производных. Описываемый метод позволяет получать асимптотиче-
асимптотические представления для траекторий таких систем на
любом отрезке времени, вычислять периодические реше-
решения и находить различные характеризующие решение
величины (в частности, период периодического решения). Рассматриваемые вопросы представляют интерес при
исследовании ряда механических, физических и техни-
технических задач, например, в теории релаксационных
колебаний. Книга рассчитана на научных работников (матема-
(математиков, механиков, физиков), на инженеров-исследова-
инженеров-исследователей и студентов, интересующихся дифференциальными
уравнениями, теорией асимптотических методов и при-
применением этих методов для решения прикладных задач. Зависимость решений от малых параметров. Примеры
релаксационных колебаний 7
§ 1. Случай гладкой зависимости. Теорема Пуанкаре ... 7
§ 2. Зависимость решений от параметра на бесконечном про-
промежутке времени 9
§ 3. Уравнения с малым параметром при производных. Примеры 11
§ 4. Системы второго порядка. Быстрые и медленные дви-
движения. Релаксационные колебания .
15
§ 5. Системы произвольного порядка. Быстрые и медленные
движения. Релаксационные колебания 23
§ 6. Решения вырожденной системы уравнений 30
§ 7. Асимптотическое разложение решений по параметру 35
§ 8. Обзор основных результатов 40
Глава II. Системы второго порядка. Асимптотическое вычис-
вычисление решений 45
§ I. Основные предположения и определения 45
§ 2. Нулевое приближение 51
§ 3. Асимптотические приближения траектории на участке
медленного движения 55
§ 4. Доказательство асимптотических представлений участка
медленного движения 59
§ 5. Локальные координаты в окрестности точки срыва . . 63
§ 6. Асимптотические приближения траектории в начале
участка срыва 67
§ 7. Связь асимптотических приближений с истинными тра-
траекториями в начале участка срыва ... ... ... 70
§ 8. Специальные переменные для участка срыва 75
§ 9. Одно уравнение типа Риккати 76
§ 10. Асимптотические приближения траектории в непосред-
непосредственной близости от точки срыва 81
§11. Связь асимптотических приближений с истинными тра-
траекториями в непосредственной близости отточки срыва 85
1 *
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12. Асимптотические ряды для коэффициентов разложения
вблизи точки срыва 92
§ 13.