Читать онлайн «Инфинитезимальный анализ»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫИ АНАЛИЗ Новосибирск Издательство Института математики 2001 УДК 517. 11+517. 98 ББК 22. 16 К94 Гордон Е. И. , Кусраев А. Г. , Кутателадзе С. С. ИнФИНИ- ТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. — xii+526 с. — (Нестандартные методы анализа). ISBN 5-86134-059-5. Инфинитезимальный анализ — один из наиболее разработанных разделов, составляюгцих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходягцие к глубокой древности. В монографии подробно излагаются теоретико-множ:ественные формализмы, позволяюгцие использовать актуальные бесконечно большие и бесконечно малые величины. Детально изучаются прилож:ения инфинитезимальных методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересуюгцих- ся современным состоянием и прилож:ениями классического нестандартного анализа. Библиогр. : 528. Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк Редактор серии С. С. ISBN 5-86134-059-5 © Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, 2001 (с) Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2001 Содер:ж:ание От редактора серии vi Введение viii Глава 1. Экскурс в историю математического анализа 1 § 1. 1. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон 2 § 1. 2. Л. Эйлер 6 § 1. 3. Дж:. Беркли 7 § 1. 4. Ж. Д'Аламбер и Л. Карно 8 § 1. 5. Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс 8 § 1. 6. Н. Н. Лузин 9 § 1. 7. А. Робинсон 11 Глава 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 12 § 2. 1. Понятие множ:ества в нестандартном анализе ... 13 § 2. 2. Простейшие свойства стандартных и нестандартных вещественных чисел 20 § 2. 3. Начальные понятия математического анализа на прямой 29 iv Содерж:ание Глава 3. Теоретико-мнолсественные формализмы нестандартного анализа 44 § 3. 1. Язык теории множ:еств 47 § 3. 2. Аксиоматика Цермело — Френкеля 58 § 3. 3. Теория внутренних множ:еств Нельсона 78 § 3. 4. Теории внешних множ:еств 89 § 3. 5. Установки нестандартного анализа 99 § 3. 6. Теория фон Неймана — Геделя — Бернайса 106 § 3. 7. Нестандартная теория классов 115 § 3. 8. Непротиворечивость NCT 125 § 3. 9. Теория относительно стандартных множ:еств ... . 131 Глава 4. Монады в обгцей топологии 143 § 4. 1. Монады и фильтры 144 § 4. 2. Монады в топологических пространствах 151 § 4. 3. Околостандартность и компактность 156 § 4. 4. Бесконечная близость в равномерных пространствах 159 § 4. 5. Нредстандартность, полнота и полная ограниченность 165 § 4. 6. Относительные монады 174 § 4. 7.