Читать онлайн «Современные методы теории поля, том 2. Геометрия и классическая механика»

Г. А. Сарданашвили ГЕОМЕТРИЯ И КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Современные методы теории поля. Т. 2 М. : УРСС, 1998. --- 168 с. Содержание Введение 3 Предварительные сведения 8 Расслоения (9). Векторные расслоения (10). Аффинные расслоения (11). Касательные и кокасательные расслоения (11). Касательные и кокасательные расслоения к расслоениям (12). Векторные поля (13). Векторные поля на расслоении (14). Мультивекторные поля (16). (S- N)-скобки (16). Внешние формы (16). Внешние формы на расслоении (17). Производная Ли (18). Тангенциально-значные формы (18). Распределения (19). Слоения (20). Касательные и кокасательные расслоения к группам Ли (20). Главное реперное расслоение (22). Многообразия струй (23). Канонические горизонтальные расщепления (25). Многообразия струй второго порядка (25). Полная производная (26). Многообразия струй высшего порядка (26). Дифференциальные операторы и уравнения (27). Связности (27). Кривизна связности (28). Линейные связности (28). Аффинные связности (29). Плоские связности (29). Композиционные расслоения (30). Пучки (32). Глава 1. Симплектическая механика 34 §1. Структура Якоби 34 §2. Контактная структура 35 §3. Структура Пуассона 36 §4. Симплектическая структура 39 §5. Симплектические гамильтоновы системы 44 §6. Пресимплектические гамильтоновы системы 46 §7. Дираковские системы со связями 48 §8. Гамильтоновы системы с симметриями 54 §9. Обобщенные скобки Пуассона 56 §10. Мультисимплектическая структура 58 Глава 2. Лагранжева механика 61 §1. Расслоения над R 61 §2. Уравнения движения 64 §3. Динамические связности 66 §4. Системы отсчета 72 §5. Лагранжевы системы 75 §6. Ньютоновы системы 82 §7. Лагранжевы законы сохранения 86 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика 90 §1. Каноническая структура Пуассона 90 §2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 92 §3. Канонические преобразования 99 §4. Уравнение эволюции 103 §5. Вырожденные системы 103 §6. Квадратичные вырожденные системы 114 §7. Гамильтоновы законы сохранения 118 §8. Неконсервативные системы с симметриями 120 §9. Системы с зависящими от времени параметрами 124 §10. Единый лагранжево-гамильтонов формализм 130 Глава 4. БРСТ механика 133 §1. Системы с флуктуациями 133 §2. Интуитивная БРСТ механика 139 §3. Механика на градуированных многообразиях 143 Глава 5. Релятивистская механика 148 Библиография 157 Предметный указатель 161 Предметный указатель А автоморфизм расслоений, 10 алгебра Грассмана, 144 --- Ли левая, 20 --- --- правая, 20 аннулятор распределения, 19 анти-БРСТ преобразования, 141 антидухи, 139 ассоциированное расслоение, 121 атлас локально постоянных тривиализаций, 29 --- расслоения, 9 аффинная связность, 29 аффинное расслоение, 11 Б база расслоения, 9 БРСТ преобразования, 141 В вариационная последовательность, 84 вариационные производные, 77 вариационный оператор, 85 векторное поле, 13 --- --- левоинвариантное, 20 --- --- Лиувилля, 15 --- --- локальное, 14 --- --- --- интегрируемое, 14 --- --- неособое, 13 --- --- правоинвариантное, 20 --- --- проектируемое, 15 --- --- Риба, 36 --- расслоение, 10 векторные суперполя, 146 вертикальное векторное поле, 15 --- касательное расслоение, 12 --- кокасательное расслоение, 13 вертикальный касательный морфизм, 12 --- ковариантный дифференциал, 31 --- лифт векторного поля, 15 --- эндоморфизм, 63 взаимно инерциальные системы отсчета, 74, 123 вложенное подмногообразие, 20 внешнее произведение, 10 --- расслоение, 145 внешняя алгебра, 16, 144 --- форма, 16 вполне интегрируемая гамильтонова система, 45 Г гамильтон-дираковская система, 49 гамильтониан, 45, 94 --- релятивистский, 155 гамильтонова система, 45 — форма ассоциированная с лагранжианом, 104 , БРСТ расширение, 141 , вертикальное расширение, 135 ограниченная, 112 гамильтоново векторное поле, 38 относительно пресимплектической формы, 46 симплектической формы, 42 — отображение, 94 генератор локальной 1 - параметрической группы диффеоморфизмов, 14 генераторы представления, 21 гессиан, 77 гиперболоид скоростей, 153 главное расслоение, 120 голономное сечение, 24 голономные автоморфизмы, 23 — координаты, 11 голономный атлас, 11 — корепер, 11 — репер, 11 горизонтальная плотность, 17 — форма, 17 горизонтальное векторное поле, 63 — распределение, 29 — слоение, 29 горизонтальный внешний дифференциал, 85 — лифт векторного поля, 28 градуированная коммутативная алгебра, 144 банахова, 144 — оболочка, 145 градуированное векторное пространство, 144 — дифференцирование, 146 — многообразие, 145 градуированной коммутативности условие, 144 градуированный модуль, 145 д движение, 65 динамическое векторное поле, 65 дираковская система, 51 полная, 53 дифференциальное уравнение, 27 дифференциальный идеал, 19 — оператор, 27 дуальная связность, 28 дуальное векторное расслоение, 10 духи, 139 3 закон движения, 65 — Ньютона второй, 75 первый, 75 — сохранения, 87 нетеровский, 87 И изоморфизм расслоений, 10 изотропное подмногообразие, 43 импульсное отображение, 54 эквивариантное, 55 инволютивное распределение, 19 индуцированная форма, 17 индуцированное расслоение, 10 инерциальное преобразование, 123 инерциальные преобразования, 74 интеграл движения в неавтономной механике, 87 нетеровский, 87 — Пуанкаре—Картана, 94 интегралы движения в инволюции, 45 интегральная кривая, 14 интегральное многообразие максимальное, 19 максимальной размерности, 19 распределения, 19 — сечение, 28 интегрируемая гамильтон- дираковская система, 50 интегрируемые распределения, 19 К калибровочные преобразования, 121 — условия, 117 каноническая 3-форма, 92 , БРСТ расширение, 142 , вертикальное расширение, 134 , струйное расширение, 130 — симплектическая форма, 41 — тангенциально-значная форма, 18 — форма Лиувилля, 41 на реперном расслоении, 23 канонические когомологии, 58 — координатные преобразования, 100 — координаты,39, 100 — преобразования активные, 100 пассивные, 100 канонический автоморфизм, 100 — лифт векторного поля, 15 каноническое горизонтальное расщепление, 25 касательное расслоение, 11 касательный морфизм, 11 ковариантный дифференциал, 28 когомологии группы, 56 кограница на группе, 55 кодифференциальный оператор, 57 коизотропное подмногообразие, 43 кокасательное расслоение, 11 композиционное расслоение, 30 контактная форма, 24, 35 контактное многообразие, 35 конфигурационное пространство, 5 вертикальное, 133 релятивистской механики, 152 координаты Дарбу, 36 —, сопутствующие системе отсчета, 73 коприсоединенное представление, 21 косимплектическая структура, 40 коцикл на группе, 55 —, отвечающий действию группы, 56 кривизна связности, 28 кручение динамической связности, 69 Л лагранжева связность, 79 лагранжево подмногообразие, 43 лагранжиан, 76 — вертикальное расширение, 137 — вполне регулярный, 111 — гиперрегулярный, 78 — квадратичный, 114 — полурегулярный, 107 — регулярный (невырожденный), 77 линейная производная, 11 — связность, 28 локальная 1-параметрическая группа локальных диффеоморфизмов, 14 локально гамильтоново векторное поле, 42 М Маурера—Картана уравнение, 22 метрика Минковского, 153 многогамильтонова система, 110 многообразие струй, 23 второго порядка, 26 высшего порядка, 26 повторное, 25 подмногообразий, 148 полуголономное, 25 мономорфизм расслоений, 10 мультивекторное поле, 16 мультисимплектическая форма, 59 мультискобка, 59 Н нетеровский ток, 87 ньютонова система, 84 О обратная задача, 84 общие ковариантные преобразования, 23 ограничение внешней формы на подмногообразие, 17 однородный элемент, 144 оператор Гамильтона, 97 — типа Эйлера—Лагранжа, 84 — Эйлера—Лагранжа, 77 — Эйлера—Лагранжа—Картана, 80 осциллятор Берри, 130 относительная скорость, 72 относительное ядро симплектической формы, 42 отображение гамильтоново, 94 — Гельмгольца—Сонина, 85 — Лежандра, 77 — Пуанкаре—Картана, 81 — Эйлера—Лагранжа, 85 П первый интеграл движения, 45 плоская связность, 29 плотность энергии, 87 поднятие внешней формы, 17 — функции, 17 подрасслоение, 10 поле параметров, 124 — Якоби, 136 полисимплектическая форма, 60 полная производная, 24, 26 — связность, 64 — система отсчета, 73 полное векторное поле, 14 — семейство гамильтоновых форм, ПО послойные координаты, 9 послойный морфизм, 9 правило Лейбница, 37 предпучок, 32 — канонический, 33 пресвязность, 150 пресимплектическая гамильтонова система, 46 внешняя, 47 внутренняя, 47 — форма, 40 принцип относительности Галилея, 74 припаивающая форма, 28 присоединенное представление, 21 проекция, 9 произведение расслоений, 10 производная Ли, 18 производящая функция, 102 пространство связей, 48 вторичных, 52 лагранжевых, 104 первичных, 48 финальных, 53 — событий в нерелятивистской механике, 5 вертикальное, 133 прямое произведение структур Пуассона, 38 пуассонов морфизм, 37 пуассоново бивекторное поле, 35 — многообразие, 37 пучок, 32 — постоянный, 33 — ростков непрерывных функций, 33 Р ранг 2-формы в точке, 39 распределение, 19 расслоение, 9 — Лежандра, 60 однородное, 59 — параметров, 124 — реперное, 22 решение дифференциального уравнения, 27 росток многообразия, 43 С свертка, 17 — векторных расслоений, 10 связи, 48 — вторичные, 49 — второго рода, 52 — первичные, 51 — первого рода, 52 — третичные, 49 — финальные, 53 связность, 27 — Берри, 130 — гамильтонова, 97 — динамическая, 67 симметричная, 68 — композиционная, 31 — локально гамильтонова, 92 сечение, 9 — локальное, 9 сила, 75 — инерции, 75 — физическая, 75 симплектическая гамильтонова система, 45 — форма, 40 Rn -значная, 60 релятивистская, 154 симплектическое действие группы, 54 — многообразие, 40 — подмногообразие, 43 — слоение, 38 симплектоморфизм, 40 система лагранжева, 75 — отсчета в нерелятивистской механике, 72 инерциальная абсолютная, 75 сопутствующая, 74 — связей полная, 49 скобки Schouten—Nijenhuis, 16 — Ли векторных полей, 13 — Пуассона, 37 — Якоби, 34 скорость нерелятивистская, 151 — релятивистская, 153 слабое тождество, 86 слоение, 20 — поверхностей уровня, 20 — сингулярное, 20 сопряженное пространство алгебры Ли, 21 стандартная 1-форма, 5 стандартное векторное поле, 5 стебель пучка, 32 струйное продолжение векторного поля, 24 морфизма, 24 сечения, 24 структура Пуассона, 37 невырожденная, 37 нулевая, 37 регулярная, 37 — Якоби, 34 структурная группа, 120 струя сечений, 23 сужение расслоения, 10 сумма Уитни векторных расслоений, 10 супермногообразие, 145 суперпространство векторное, 145 суперформа, 147 суперфункция, 146 Т тензор масс, 83 тензорное произведение векторных расслоений, 10 типичный слой, 9 тождество Якоби, 34 ток, 86 У уравнение геодезических, 71 — движения, 65 — динамическое, 65 — свободного движения, 66 — эволюции, 45, 103 уравнения Гамильтона, 45, 97 ограниченные, 112 — Гамильтона—де Дондера, 81 — движения первого порядка, 98 — Картана, 80 — равновесия, 101 — Эйлера—Лагранжа, 77 Ф фазовое пространство вертикальное, 133 нерелятивистской неавтономной механики, 5 релятивистской механики, 154 форма гамильтонова, 94 локально, 93 — де Дондера, 81 — левоинвариантная, 21 каноническая, 22 — правоинвариантная, 21 каноническая, 22 — Пуанкаре—Картана, 76 — тангенциально-значная, 18 функции перехода, 9 функция 38 Гамильтона, 94 — слоение, 38 — Казимира, 37 Ч — Лагранжа, 76 четный сектор, 144 X Я характеристическое распределение, ядро внешней формы, 39 Введение Настоящая книга является своего рода приложением общего геометрического аппарата классической теории поля к теоретической механике.