Читать онлайн «Функциональный анализ и его приложения. Том 6. Выпуск 1»

В нашем журнале публикуются оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы о конференциях и семинарах по функциональному анализу. Журнал выходит 4 раза в год. Максимальный объем статьи с подробными доказательствами— 20 стандартных машинописных страниц, краткого сообщения — 4 машинописные страницы. Том 6, выпуск 1, 1972 г. ЯНВАРЬ —МАРТ Главный редактор журнала И. М. ГЕЛЬФАНД Редакционная коллегия: М. С. АГРАНОВИЧ, В. И. АРНОЛЬД (зам. главного редактора), А. А. КИРИЛЛОВ, А. Г. КОСТЮЧЕНКО, М. Г. КРЕЙН, М. М. ЛАВРЕНТЬЕВ, Б. Я. ЛЕВИН, В. Б. ЛИДСКИЙ, С. Н. МЕРГЕЛЯН, Б. С. МИТЯГИН, М. А. НАЙМАРК, С. П. НОВИКОВ, Л. Д. ФАДДЕЕВ, 3. И. ХАЛИЛОВ, Г. Е. ШИЛОВ (зам. главного редактора) jr ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Адрес редакции: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, тел. 234-07-95 Функциональный анализ и его приложения, т. 6, вып. 1, 1972, 1—9. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА А. Л. Бухгейм Введение В работе изучаются линейные операторные уравнения Вольтерра первого рода. Операторные ур&Внения Вольтерра первого рода были введены М. М. Лаврентьевым [1] на международном математическом конгрессе в Ницце. Работа состоит из трех параграфов. В § 1 вводятся обозначения и напоминаются некоторые известные факты, (см. [2] — [4]) из теории спектральных операторов, которые используются в дальнейшем. В §2 доказывается теорема единственности для операторного уравнения Вольтерра первого рода (в предположении инвариантности рассматриваемой задачи относительно некоторого оператора или группы операторов). Как заметил М. М. Лаврентьев [1], ряд задач интегральной геометрии сводится к решению операторного уравнения Вольтерра первого рода. Под задачами интегральной геометрии мы, следуя книге [5], понимаем задачи восстановления функций, если известны интегралы от этих функций по некоторому семейству многообразий. В частности, из доказанной теоремы следуют теоремы единственности В. Г. Романова [6] для задач интегральной геометрии, инвариантных относительно сдвига. В менее общей форме (в то время автор не был знаком с работами [2] — [4]) результаты этого параграфа содержатся в нашей заметке [7]. Хорошо известно, что задача решения уравнений первого рода часто некорректна по Адамару. В связи с этим важно иметь оценки, характеризующие устойчивость этих. задач на конкретных, естественным образом выделяемых множествах (множествах корректности). Получению таких оценок для спектральных операторов посвящен § 3. Отсюда, в частности, следуют оценки устойчивости для задач интегральной геометрии, полученные М. М. Лаврентьевым и Р. Г. Мухометовым [8]. Основные результаты работы были доложены на симпозиуме по обратным задачам математической физики, проходившем в ВЦ СО АН с 1 по 6 февраля 1971 года. Пользуясь случаем, автор приносит глубокую благодарность М. М. Лаврентьеву за постановку задачи и полезные советы. § 1. Предварительные сведения Пусть X — комплексное банахово пространство, X (X, X) — алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.