Читать онлайн «Введение в математические методы нелинейной динамики»

Нижегородский государственный университет им. Н . И. Лобачевского Национально исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Основная образовательная программа 010100 ”Математика”, общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Основная образовательная программа 010200 ”Математика и компьютерные науки”, общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине "Математические методы нелинейной динамики" А. Д. Морозов ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ Электронное учебно-методическое пособие Мероприятие 1. 2 . Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса Нижний Новгород 2012 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИ- НЕЙНОЙ ДИНАМИКИ. Морозов А. Д . Электронное учебно- методическое пособие. -Нижний Новгород: Нижегородский госуни- верситет, 2012. – 98 с. В учебном пособии излагаются методы и приемы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым приводят задачи теории колебаний. Это методы качественной тео- рии и теории бифуркаций двумерных динамических систем, метод малого параметра Пуанкаре, методы усреднения. Основной прием исследования систем, которые малыми возмущениями отличают- ся от интегрируемых – это разделение переменных на ”быстрые” и ”медленные” с последующим усреднением по быстрой переменной. В качестве таких переменных используются канонические перемен- ные действие-угол. В настоящем учебном пособии наряду с традиционным в теории колебаний рассмотрением квазилинейных систем также проводит- ся исследование и существенно нелинейных систем, которые более адекватно описывают исходный процесс или явление. Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010100 ”Математика” и 010200 ”Математика и компьютерные науки”, изу- чающих курс ”Математические методы нелинейной динамики”. По- собие может быть полезным также для студентов старших курсов физико-математических факультетов университетов. Оглавление Предисловие 5 Глава 1. Введение. Динамические системы, основные понятия 7 1. 1. Исторический экскурс 7 1. 2. Понятиe и классификация динамических систем 9 1. 3. Устойчивость состояния равновесия. Второй метод Ляпунова 14 Глава 2. Методы качественной теории и бифуркации двумерных динамических систем 19 2. 1. Качественные методы двумерных динамических систем 19 2. 2. Бифуркациии двумерных динамических систем 28 Глава 3. Консервативные интегрируемые системы 31 3. 1. Системы с одной степенью свободы 31 3. 2. Приложение к задаче о стационарных волновых решениях в уравнении Кортевега - де Вриза (КДВ) 37 3. 3. Приложение к задаче Кеплера. 39 3. 4. Трехмерные консервативные системы 41 3. 5. Многомерные гамильтоновы системы 49 Глава 4. Неконсервативны автономные системы, близкие к интегрируемым 59 4. 1. Метод малого параметра Пуанкаре 59 4. 2. Метод усреднения 62 4. 3. Применение метода усреднения для квазилинейных уравнений 64 4. 4.