Читать онлайн «Естественная геометрия семейств вероятностных законов»

Е. А. Морозова, Н. Н. Ченцов ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ (Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1991. т. 83. С. 133-265) Рассматривается дифференциальная геометрия многообразий вероятностных мер, инвариантная относительно категории статистических решающих правил (марковских морфизмов), которая дает естественный язык как описания статистической модели — априорной информации о статистическом эксперименте, так и построения оптимальных методов обработки данных такого эксперимента. Показано, что средняя информация, содержащаяся в смысле Фишера в выборке, является монотонным инвариантом вышеуказанной категории, аддитивным относительно функтора тензорного умножения распределений. Выяснена некорректность задачи статистической точечной оценки, как обратной задачи теории вероятностей, при полном отсутствии априорной информации о многообразии распределений вероятностей исходов наблюдаемого случайного явления. Прослежены многочисленные аспекты приложения к статистическим моделям геометрического языка всех уровней, включая несимметричную пифагорову геометрию в задаче проверки простых гипотез, геометрию гладких многообразий с двумя сопряженными инвариантными линейными связностями в параметрической статистике, и теорию информационных поперечников по Колмогорову в вопросах статистического оценивания гладких кривых. Содержание § 0. Введение. Исторические замечания 133 § 1. Задача статистической точечной оценки как обратная задача теории 140 вероятностей § 2. Категория статистических решающих правил и эквивалентность 144 статистических экспериментов § 3. Инварианты пары распределений вероятностей и информационные 153 количества § 4. Задача различения нескольких простых гипотез 161 § 5. Аддитивный инвариантный тензор информации Фишера 167 § 6. Инвариантные линейные связности в многообразиях распределений 172 вероятностей § 7. Канонические экспоненциальные семейства распределений 181 вероятностей § 8. Несимметричная пифагорова геометрия информационных количеств 190 § 9. Параметрическая задача статистического оценивания. Неравенство 195 информации § 10. Параметрическая задача статистического оценивания. Интегральное 208 неравенство информации § 11. Параметрическая задача статистического оценивания. 226 Асимптотически оптимальные оценки § 12. Бесконечномерные квазиоднородные многообразия распределений 240  вероятностей. Информационные поперечники § 13. Геометризация статистической теории (краткий библиографический 256 обзор Литература 957 Именной указатель 270 Предметный указатель 272 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абу-Жауд (Abou-Jaoude S. ) 143, 259 Гхош (Ghosh J.