Читать онлайн «Когомологии Галуа»

LECTURE NOTES IN MATHEMATICS Edited by A. Dold, Heidelberg and 3. Eckmann, Zurich JEAN-PIERRE SERRE Cohomologie Galoisienne SPRINOER VERLAO Berlin • Oottingen • Heidelberg • New York 1964 БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА . МАТЕМАТИКА" Ж. -П. СЕРР КОГОМОЛОГИИ ГАЛУА Перевод с французского И. В. ДОЛГАЧЕВА н В. А. ИСКОВСКИХ Под редакцией Ю. И. МАНИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва 1968 УДК 519. 44 Книга написана на основе лекций, прочитанных видным французским математиком. С присущим автору мастерством в этих лекциях изложены основы теории когомологий топологических вполне несвязных групп и их многочисленные приложения к теории чисел и алгебраической геометрии, концентрирующиеся вокруг понятий когомологической размерности поля, диофантовых проблем в теории алгебраических групп и задач двойственности. Книга представляет большой интерес для математиков различных специальностей, начиная со студентов старших курсов. Редакция литературы по математическим наукам Инд. 2-2-3 ПРЕДИСЛОВИЕ Эти заметки воспроизводят с некоторыми изменениями курс лекций, прочитанный автором в Коллеж де Франс в 1962—1963 году. Кроме того, в них содержатся неопубликованные результаты Тейта (дополнение к гл. I) и Вердье, касающиеся двойственности проконечных групп. Первоначальный вариант этих заметок, написанный Мишелем Рейно, был для меня весьма полезен. Я ему чрезвычайно благодарен. Жан-Пьер Серр ГЛАВА I КОГОМОЛОГИИ ПРОКОНБЧНЫХ ГРУПП § 1. ПРОКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 1. 1. Определение Проконечной группой называется топологическая группа, которая является проективным пределом конечных групп (снабженных дискретной топологией). Каждая такая группа компактна и вполне несвязна. Обратно, если группа О компактна и вполне несвязна, то она обладает базой окрестностей единицы, образованной открытыми нормальными делителями U, и ее можно отождествить с lim Q\U. Это показывает, что О проконечна. Проконечные группы образуют категорию (морфизмами являются непрерывные гомоморфизмы), в которой существуют бесконечные произведения и проективные пределы. Примеры. (1) Пусть ЦК — расширение Галуа поля К. Группа Галуа этого расширения Q(LjK) является, по самому построению, проективным пределом групп Галуа G{LtjK) конечных нормальных расширений LtlK, содержащихся в ЦК\ следовательно, О (Z. //Q — проконечная группа. (2) Компактная аналитическая группа над полем р-ади- ческих чисел Qp является проконечной группой (как топологическая группа). В частности, SL„ (Zp), Sp, (Zp), ... — проконечные группы. (3) Пусть О — дискретная группа и б — проективный предел ее конечных факторгрупп. Группа О называется проконечной группой, ассоциированной с О. Это отделимое пополнение группы О относительно топологии, определенной подгруппами конечного индекса. В частности, ядро естественного отображения Q->Q является пересечением подгрупп конечного индекса. 8 Гл. I. Когомологии проконечных групп 1. 2. Подгруппы Каждая замкнутая подгруппа Я проконечной группы G является также проконечной группой. Более того, фактор- пространство О/Я компактно и вполне несвязно.