Читать онлайн «Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений»

. А. СТЕКЛОВ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИ РЕШЕН Й ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА В. А. СТЕКЛОВ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ВЫРАЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, И ИХ ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ПО ЭТИМ ФУНКЦИЯМ Редакция а комментарии И. С. ЛАНДКОФА ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО Харьков i960 1864-1926 ОТ РЕДАКТОРА Предлагаемый вниманию читателя мемуар был опубликован Владимиром Андреевичем Стекловым на французском языке в 1907 году в Сообщениях Харьковского математического общества. В научном наследии В. А. Стеклова он занимает особое и довольно значительное место. Начав в 1896 году заниматься проблемой разложения функции в ряд по фундаментальным функциям краевой задачи Штурм—Лиу- вилля, Владимир Андреевич посвятил ей целый ряд своих работ. Большинство результатов, полученных в этом направлении, а также по краевым задачам теории потенциала, включено В. А. Стекловым в его двухтомную монографию „Основные задачи математической физики" (Петроград, 1922—1923 гг. ). Содержание же настоящего мемуара осталось менее известным советскому читателю, хотя он, бесспорно, представляет значительный интерес. В нем В. А. Стеклов значительно продвинул вперед решение вопроса о разложении функции в обобщенный ряд Фурье по ортогональным многочленам и по функциям Штурм-—Лиувилля. Через три года, усовершенствовав свой, изложенный в этом мемуаре метод, В. А. Стеклов доказал, не сформулировав явно, весьма важную теорему анализа о равносходимости ряда Штурм—Лиувилля и ря/ia Фурье. Этот результат был получен им независимо от Гобсона (1908 г. ), и нам представляется справедливым называть его теоремой Гобсона — Стеклова. Кроме того, в этой работе В. А. Стеклов, развивая метод Лиувилля (в настоящее время этот метод называется методом Лиувилля—Стеклова), получил важные асимптотические формулы для классических ортогональных многочленов. При переводе был исправлен ряд опечаток, имевшихся во французском тексте. Незначительные редакционные поправки внесены в §§ 16, 34, 35, 36, 38, 39, 42, несколько большие —в §§11, 27, 31. Звездочкой отмечены параграфы, снабженные в конце книги комментарием. 3 § 1*. Пусть И, λϊ, Μ,... , λ*„,. . (1) образованная по какому-либо закону бесконечная последовательность положительных чисел, неограниченно возрастающих, когда индекс η стремится к бесконечности. Предположим, что каждому числу λ£ (η = 0,1, 2... ) соответствует функция ип(х) вещественного переменного ху определенная и непрерывная в некотором интервале (а, Ь) (Ь > а). Полученная последовательность функций «о Μ. «ι (*)>«! (*),-. . , «*(*),-. . вместе с сопоставленными значениями параметров λ£ U = 0,1,2,... ) будет формулироваться каждый раз вполне определенным образом. Наиболее интересным является тот случай, когда функции йл(# — 0,1, 2,... ) определяются линейным дифференциальным уравнением и некоторыми связанными с ним начальными^ условиями или граничными условиями на концах интервала (я, Ь).