Читать онлайн «Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учебное пособие для вузов»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "МИФИ" Т. И. Бухарова, В. Л. Камынин, А. Б. Костин, Д. С. Ткаченко Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2011  УДК 517. 9 ББК 22. 161. 6 Б94 Бухарова Т. И. , Камынин В. Л. , Костин А. Б. , Ткаченко Д. С. Курс лекций по обыкно- венным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. – М. : НИЯУ МИФИ, 2011. – 228 с. Учебное пособие создано на основе курса лекций, читаемого авторами в Московском инженерно-физическом институте на протяжении многих лет. Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ всех факультетов, а также для студентов вузов с повышенной математической подготовкой. Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент: доктор физ. -мат. наук Н. А. Кудряшов. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011 Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений 6 Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка 14 Теорема единственности для ОДУ первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Существование решения задачи Коши для ОДУ первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Продолжение решения для ОДУ первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III. Задача Коши для нормальной системы n-го порядка 38 Основные понятия и некоторые вспомогательные свойства вектор-функций . . . . 38 Единственность решения задачи Коши для нормальной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Понятие метрического пространства. Принцип сжимающих отображений . . . . . . 44 Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, реша- емых в квадратурах 55 Уравнение с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Линейные ОДУ первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 V.