Читать онлайн «Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве 1»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР Н. И. Ахиезер И. М. Глазман ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ТОМ 1 ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ХАРЬКОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ ХАРЬКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ «ВИЩА ШКОЛА> 1977 УДК 517. 5 517. 5 А95 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Подготовкой к печати настоящего издания мне пришлось заниматься одному. По сравнению со вторым изданием содержание книги подверглось следующим изменениям. Добавлено приложение об одном классе обратных задач спектрального анализа дифференциальных операторов. Увеличен раздел, посвященный классическим дифференциальным операторам второго порядка. Полностью переделан параграф, содержащий доказательство существования инвариантных подпространств у вполне непрерывных операторов. Есть и другие изменения. Особое внимание я уделил исправлению погрешностей, а также улучшению изложения в ряде мест. В этой работе мне оказали неоценимую помощь Ф. С. Рофе-Беке- тов и Л. Л. Ваксман. Пользуюсь случаем выразить благодарность им, а также коллегам и ученикам, которые после выхода в свет второго издания ознакомили меня со своими критическими замечаниями. Для удобства читателей книга выходит теперь в двух томах. Первый том примерно соответствует общему курсу теории операторов, который читается в наших университетах. Второй том посвящен специальным вопросам теории операторов, а также приложениям ее к теории интегральных и дифференциальных уравнений. Н. И. АХИЕЗЕР д 20 203—451 | ^ ф Издательское объединение М226(0<Ц—77 «Внща школа», 1977 ГЛАВА 1 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА 1. Линейные системы. Множество R элементов /, g, h, . . . (называемых также точками или векторами) образует линейную систему, если a) в R определена операция, называемая сложением и обозначаемая знаком +, причем (f + g) + h = f+,(g'+h), и существует единственный элемент 0 (нулевой элемент) такой, что / + 0 = /; b) определено умножение элементов множества R на комплексные числа а, (3, . . . , причем а (/ + Й = а/ + «г. . (а + р)/ = а/ + р/, а(Р/) = («Р)/, Ь/ = /. Будем говорить, что элементы fu /3, ... ,/„ 6 R линейно независимы, если соотношение «i/i + «2/2 + • • • + anfn = 0 (1) возможно только в тривиальном случае ах = а2 = • • • • = а„ = 0; в противном случае элементы /1( /2, ... , fn назовем линейно зависимыми. Левую часть соотношения (1) называют линейной комбинацией элементов flt f2, ... , /„. Таким образом, линейная независимость элементов /ь /2 ... , \п означает, что любая нетривиальная линейная комбинация этих элементов отлична от нуля. Если среди элементов /ь /2, . . . , /„ есть равный нулю, то эти элементы, очевидно, линейно зависимы. Действительно, если, например, /i = 0, то мы получим нетривиальное соотношение (1), беря oti = 1, а2 = а3 = • • • = . а„ = 0. 4 Гл. I. Пространство Гильберха Линейную систему R называют конечномерной и притом «-мерной, если R содержит п линейно независимых элементов и если всякие п + 1 элементов из R линейно зависимы. Конечномерные линейные системы изучаются в линейной алгебре.