Читать онлайн «Выпуклые фигуры и многогранники»

Л. λ. ЛЮСТЕРНИК ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И МНОГОГРАННИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1956 11-3-1 Люстерник Лазарь Аронович. Выпуклые фигуры и многогранники. Редактор Л. Ф. Лапко. Техн. редактор'Р. А. Негримовская. Корректор Л. О. Сечёйко. Сдано в набор 9/VIII 1956 г. Подписано к печати 22/XI 1956 г. Бумага 84x108/. ,. Физ. печ. л. 6,63. Условн. печ, л. 10,87. Уч. -изд л. 9,84. Тираж 35 000 экз. Т-10071. Цена книги 2 р. 95 к. Заказ № 1381. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, Б. Калужская, 15. — — Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой. Ленинград, Измайловский пр. , 29. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава I. Выпуклые фигуры и тела, их опорные прямые и плоскости 9 § 1. Плоские выпуклые фигуры 9 § 2. Опорные прямые 15 § 3. Выпуклые многоугольники 2l· § 4. Выпуклые тела 26 § 5. Конус 32 § 6. О хордах, перпендикулярных к опорным прямым и плоскостям 37 § 7. Овалы постоянной ширины 42 Глава II. Центрально-симметрические выпуклые фигуры 48 § 8. Центральная симметрия и параллельный перенос . . 48 § 9. 0 разбиении симметрических многогранников ... 51 § 10. Наибольшее цетрально-симметрическое выпуклое тело в целочисленной решетке 54 § 11. Заполнение плоскости и пространства выпуклыми фигурами 62 Глава III. Выпуклые многогранники 69 § 12. Теорема Эйлера (формулировка) 69 § 13. Доказательство теоремы Эйлера и ее некоторые следствия 72 § 14. Теорема Коши (основные леммы) 77 § 15. Доказательство теоремы Коши 83 § 16. Теорема Штейница 93 § 17. Теорема Штейница (окончание) 101 § 18. Теорема А. Д. Александрова 108 Глава IV. Линейные системы выпуклых тел 110 § 19. Линейные операции над точками 110 § 20. Линейные операции над фигурами ИЗ § 21. Линейные системы выпуклых многоугольников ... 119 § 22. Смешанная площадь выпуклых фигур 124 § 23. Некоторые неравенства 132 § 24. Неравенство Брунна — Минковского 136 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 25. Плоские сечения выпуклых тел 143 § 26. Следствия из неравенства Брунна — Минковского 147 Глава V. Теоремы Г. Минковского и А. Д. Александрова 149 § 27. Формулировки 149 § 28. Одна теорема о выпуклых многоугольниках ... . 152 § 29. О смешении многогранников 159 § 30. Доказательство теоремы о многогранниках 166 Глава VI. Дополнения 171 § 31. Точное определение понятия фигуры и выпуклой фигуры 171 § 32. О правильных многогранниках 175 § 33. Об изопериметрической задаче 185 § 34. Хорды произвольных континуумов 187 § 35. Теоремы Бликфельда 193 § 36. Теоремы Лебега и Боля—Брауэра 196 § 37. Выпуклые фигуры и нормированные пространства . 207 ПРЕДИСЛОВИЕ В современной математике употребляется термин «наглядная геометрия». Мы относим к ней те геометрические вопросы и теоремы, которые имеют «наглядный» геометрический смысл. Формулировка таких теорем весьма элементарна, однако доказательство их может быть отнюдь не элементарным. Более того, доказательство некоторых таких теорем до сих пор не удалось найти. Примером этому служит знаменитая задача «о четырех красках», с которой читатель может познакомиться в книге Г.