Читать онлайн «Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве 2»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР Н. И. Ахиезер И. М. Глазман ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ТОМ II ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ХАРЬКОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ ХАРЬКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ «ВИЩА ШКОЛА» 1978 517. 5 A95 УДК 517. 5 Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Т. И. Ахиезер Н. И. , Глазман И. М. Харьков, Издательское объединение «Вища школа», 1978, 288 с. Второй том монографии посвящен специальным вопросам теории операторов, а также приложениям ее к теории интегральных и дифференциальных уравнений. В ней рассмотрены спектр и возмущения самосопряженных операторов, теория расширения и обобщенные спектральные функции симметрических операторов. Первое и второе издания вышли в издательстве «Наука» (Москва, 1950, 1966 гг. ). Предназначена для специалистов—математиков и физиков-теоретиков. Редакция естественнонаучной литературы И. о. зав. редакцией Я. Я. Сорокун 20203—602 /Оч Издательское объединение М226(04)—78 25—4—77 [}JJ «Вища школа», 1978 ГЛАВА Vll СПЕКТР И ВОЗМУЩЕНИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 93. Непрерывный спектр самосопряженного оператора. Напомним, что классификация точек спектра самосопряженного оператора была дана в п° 48, а затем в п° 82 было установлено, что полный спектр <5 (А) самосопряженного оператора А совпадает с множеством точек роста его спектральной функции Et и что множество точек разрыва функции Et совпадает с совокупностью всех собственных значений оператора А, т. е. с его точечным спектром Ж)(А). Чтобы непрерывный спектр самосопряженного оператора А также охарактеризовать в терминах спектральной функции, примем для него сейчас новое определение, а затем покажем* его эквивалентность определению п° 48. Определение. Непрерывный спектр % (А) самосопряженного оператора А (называемый также предельным спектром или спектром сгущения) есть совокупность всех неизолированных точек роста принадлежащего оператору А разложения единицы Et, а также собственных значений бесконечной кратности. Заметим сразу же, что из этого определения следует замкнутость множества % (А). Точки непрерывного спектра, подобно собственным значениям оператора А, могут быть описаны с помощью однородного уравнения Л/-Ь/-0. (1) Однако, в отличие от точек А,е2)(Л), для которых уравнение (1) имеет точные нетривиальные решения, точки К е % (А) характеризуются приближенной нетривиальной разрешимостью этого уравнения. Точный смысл этого утверждения выражает следующая Теорема 1. ТочкаХ принадлежит непрерывному спектру % (А) оператора А в том и только том случае, когда в Da существует бесконечная ортонормированная последовательность элементов fn, для которой Vim (Afа-Щ-0. (2) * См. теорему 3 настоящего пункта. 4 Гл. VII. Спектр и возмущения самосопряженных операторов Доказательство. Если X с % (А), то X — либо собственное значение бесконечной кратности оператора А, либо неизолированная точка роста функции Et. В первом случае в качестве {/„}" можно взять любую бесконечную ортонормированную последовательность элементов из принадлежащего X собственного подпространства. Во втором случае при любом Ь > 0 существует такое положительное 8'< 8, что подпространство (£x+s—£\-б')Н составляет правильную часть подпространства (£x+s—£x-s)H.