Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XXV. Численное исследование уравнения Лейбензона»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО С. Д. Алгазин, Б. Н. Соколов ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТФИЗИКИ. XXV. Численное исследование уравнения Лейбензона. Препринт № 916 Москва 2009 г. Аннотация. Рассматривается радиально-симметричная задача о падении давления газа в круглом пласте с одиночной совершенной скважины конечного размера в центре. Распределение давления описывается нелинейным уравнением Лейбензона. Прово- дится линеаризация уравнения Лейбензона в окрестности начального давления в пла- сте. В результате численных экспериментов установлено, что на начальном этапе разработки линейное приближение достаточно точно отражает падение давления в пласте. Для бесконечного пласта исследуется автомодельное решение. The summary. The radial-symmetric problem concerning gas pressure decrease in a round layer with a single perfect well of the finite size at centre is considered. Pressure allocation is de- scribed by nonlinear Leibenson equation. Linearization of Leibenson equation was per- formed in vicinities of initial pressure in a layer. As the result of numerical experiments it was established, that linear approach with good degree of accuracy represents the pressure drop in the initial stage of a layer exploitation. For an infinite layer automodel solution of Leibenson equation is researched. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект № 09-08-00011-a. 055(02)2 Институт проблем механики РАН 2009 2  1. Постановка задачи. Основанное на концептуальной модели определяющее уравнение, описывающее нестационарный, радиальный поток газа к полностью проникающей добывающей скважине в ненасыщенной зоне - следующее: 1 k P ( ) r (1) r r r t Граничные и начальные условия суть k P 2 h r Qm (2) r r r0 P(r R, t 0) P0 (3) P (r = R, t = 0 ) = P 0 (4) -3 где r - радиальное расстояние (L), t - время (T), ρ - плотность газа (М L ), к - прони- цаемость (L2), μ – вязкость газа (М L - 1 T - 2 ) , P - давление ( М L - 1 T - 2 ), ε – заполнен- ная газом (безразмерная) пористость, h является толщиной ненасыщенной зоны (L), Q m – масса газа, добываемого в единицу времени ( М T - 1 ), и P 0 является начальным давлением в пределах области или на бесконечности. P Для идеального газа , где R g - универсальная газовая постоянная RgTk (M L2 mol-1 T -2 K -1 ), ω молекулярный вес газа (M mol-1), и T k - температура (K); Введѐм безразмерные величины (со штрихами): P P P0 , r r R, t tT , T – R2 Qm RTk характерное время, и безразмерные константы: , , тогда урав- TP0 P02 h нения (1-4) можно переписать уравнения так (штрихи у безразмерных величин опус- каем): 1 1 r , P2 (5) r r r P t r , r0 / R (6) r r Pr 1 1 (7) Pt 0 1 (8) 3  Линеаризация P=1- α, α ≥ 0 .