Читать онлайн «Марковские процессы»

УДК 519. 217 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Н. И. Портенко, А. В. Скороход, В, М. Шуренков СОДЕРЖАН И Е Глава 1. Марковское свойство 6 § 1. Стохастически определенные системы 7 1. 1. Динамические системы со случайными возмущениями ... 7 1. 2. Стохастически определенные системы. Вероятности перехода 8 1. 3. Процессы с конечным множеством состояний 11 1. 4. Диффузионные процессы 14 § 2. Марковское свойство 17 2. 1. Определение марковского процесса 17 2. 2. Марковская случайная функция 21 2. 3. Марковские случайные функции па случайных интервалах . 30 Глава 2. Регулярные марковские процессы 31 § 1. Условия непрерывности и отсутствия разрывов второго рода . 31 1. 1. Стохастически непрерывные процессы 31 1. 2. Условия отсутствия разрывов второго рода 33 1. 3. Непрерывные процессы 46 1. 4. Винеровский процесс 48 1. 5. Диффузионные процессы . 50 1. 6. Процессы с независимыми приращениями 5g § 2. Строго марковские процессы 58 2. 1. Моменты остановки и порождаемые ими о-алгебры ... 58 2. 2. Прогрессивная измеримость 60 2. 3. Строго марковские процессы 62 Глава 3. Диффузионные процессы 69 § 1. Аналитические методы . 70 1. 1. Определение диффузионного процесса 70 1. 2. Уравнения А. Н. Колмогорова 73 1. 3. Обобщенные диффузионные процессы 75 1. 4. Квазидиффузионные процессы 87 § 2. Метод стохастических дифференциальных уравнений ... 88 2. 1. Стохастические дифференциальные уравнения Ито ... 88 2. 2. Мартингальная постановка задачи 103 2. 3. Абсолютно непрерывная замена меры 117 Глава 4. Однородные марковские процессы 126 § 1. Общие свойства однородных марковских процессов . . . 126 1. 1. Однородный марковский процесс . , 126 1. 2. Вероятность перехода 129 § 2. Полугрупповая теория днородных марковских процессов . . 131 2. 1. Связанная с процессом полугруппа операторов ... . 131 2. 2. Теорема Хилле-Иосида 135 2. 3. Стохастически непрерывные процессы в топологическом пространстве 137 2. 4. Процессы со счетным множеством состояний 139 5 § 3. Строго марковские процессы 142 3. 1. Определение. Достаточные условия 142 3. 2. Характеристический оператор 144 3. 3. Феллеровские процессы на компакте 148 3. 4. Регулярно-феллеровские процессы в локально компактном пространстве 150 3. 5. Скачкообразные процессы 153 § 4. Мультипликативные и аддитивные функционалы. Преобразования процессов 157 4. 1. Моменты обрыва процесса 157 4. 2. Аддитивные функционалы 160 4. 3. Случайная замена времени 165 § 5. Непрерывные процессы в Rd 1б9 5. 1. Случайная замена времени и квазидиффузионные процессы Iq9 5. 2. Одномерные непрерывные процессы 174 Глава 5. Эргодичсская теория 178 § 1. Однородные цепи Маркова (элементы общей теории) . . 178 1. 1. Неотрицательные ядра 178 1. 2. Вероятности перехода 181 1. 3. Операторы сдвига 183 1. 4. Строго марковское свойство ]83 § 2. Марковские процессы и эргодическая теория ... . . 184 2. 1. Физические предпосылки . 184 2. 2. Абстрактные эргодические теоремы 185 2. 3. Применения к операторам сдвига 190 2. 4. Эргодические теоремы для переходных вероятностей . . . 192 § 3. Счетные цепи Маркова 194 3. 1. Классификация состояний 194 3. 2.