Читать онлайн «Курс лекций по математическому анализу – II, для направления Прикладная математика и информатика»

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – II для напр. «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф. И. Ю. Попова Санкт-Петербург 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – II (для напр. «Прикладная математика и информатика») Учебное пособие Под редакцией проф. И. Ю. Попова Санкт-Петербург 2013 Т. В. Родина, Е. С. Трифанова Курс лекций по математическому анализу – II (для напр. «Прикладная математика и информатика»). Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. –153 с. Предлагаемое пособие является продолжением учебного пособия Т. В. Родина, Е. С. Трифанова «Курс лекций по математическому анализу – I» и предназначено для студентов ЕНФ и ФИТИП специальности «Прикладная математика и информатика». В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности во втором семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа. Авторы выражают глубокую признательность редактору профессору И. Ю. Попову и студенту А. А. Бойцеву за внимательное отношение к работе и ряд ценных замечаний. Рекомендовано к печати Ученым советом естественнонаучного факультета, 04. 04. 2013, протокол №3 В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.  Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2013 Т. В. Родина, Е. С. Трифанова, 2013 Оглавление 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 6 §1 Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §2 Неопределенный интеграл. Основные свойства и таблица ин- тегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §3 Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. 1 Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. 2 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §4 Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. 1 Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . 12 4. 2 Интегрирование выражений, содержащих иррациональности 22 4. 3 Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . 27 6 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 29 §1 Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. 1 Интегралыные суммы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. 2 Геометрическая и физическая интерпретация определенно- го интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 §2 Необходимое условие интегрируемости функции . . . . . . . . 33 §3 Интегральные суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 §4 Критерии интегрируемости функции . . . . . . . . . . . . . . . 36 §5 Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §6 Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6. 1 Свойства, связанные с действиями над функциями . . . . . 41 6. 2 Свойства интеграла, связанные с промежутком интегриро- вания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6. 3 Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6. 4 Первая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . . . 47 §7 Интеграл с переменным верхним пределом.