Читать онлайн «Топологические теоремы двойственности. Незамкнутые множества»

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени В. А. СТЕКЛОВА LIV П. С. АЛЕКСАНДРОВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ Часть вторая НЕЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОСКВА 1959 Ответственный редактор академик И. Г. Петровский Зам. ответственного редактора профессор С. М. Н и к о л ь с к и п ВВЕДЕНИЕ* Когда в докладе на Московской международной топологической конференции в 1935 г. мною были сформулированы основные проблемы комбинаторной (гомологической) теории незамкнутых множеств, то было совсем не очевидно, что такая теория вообще существует, т. е. что столь обширный класс математических объектов, как всевозможные точечные множества эвклидовых пространств, допускает исследование методами комбинаторной топологии. Напомню соответствующее место своего доклада**. „Значение и перспективы гомологической теории компактов основаны на том конкретном геометрическом познании, к которому нас привело понятие гомологии. ... Комбинаторной топологии некомпактных пространств в этом смысле ке с^щсстгуст, и псргый вопрос, который в связи с этим возникает,—следующий: Допускают ли вообще некомпактные пространства алгебраически-комбинаторное исследование в смысле теории гомологии? Положительный ответ на этот вопрос кажется мне хотя и вероятным, но отнюдь не несомненным. Гипотетический положительный ответ означал бы прежде всего построение гомологической теории конечномерных пространств, т. е. , практически говоря, точечных множеств эвклидовых пространств, а именно 1. Теорию размерности этих множеств —в том*** направлении, как она построена сейчас для компактов. 2. Теоремы двойственности, или по крайней мере теоремы существовани для зацепляющих циклов. 3. Теорию непрерывных (по-видимому, замкнутых) отображений. Особенно теоремы двойственности являются решающими для плодотворности теории: гомологическая теория без законов двойственности едва ли * Введение представляет ссбой воспроизведение— с небольшими изменениями — вводных замечаний доклада, сделанного мною на съезде польских математиков (1952) и напечатанного в журнале Fundamcnta Mathematicae, 41 (1954); в введении дается краткий исторический очерк развития комбинаторной топологии незамкнутых множеств; дальнейшее изложение на него не опирается. ** Матем. сборник, т. 1 (43), 1936, стр. 630. *** Т. е. гомологическом. 4 Введение повела бы к важным новым познаниям. Существуют ли для любого множества MciRn между М и Rn\M соотношения двойственности гомологического характера? Вот вопрос, имеющий решающее значение для всего дальнейшего развития теоретико-множественной топологии. Я воздерживаюсь пока от всяких предположений на этот счет. Может быть, было бы целесообразно ставить этот вопрос сначала не в полной общности... Уже перенесение закона двойственности на случай Fa- и Gs-множеств, или установление невозможности такого перенесения было бы чрезвычайно важным". Таким образом, в моем докладе 1935 г. была намечена вполне определенная программа.