Читать онлайн «Двойственность Минковского и ее приложения»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ, А. М. РУБИНОВ ДВОЙСТВЕННОСТЬ МИННОВСНОГО И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Ответственный редактор В. А. Булевский ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Новосибирск' 1976 УДК 51188 Книга посвящена одной Из основных конструкций выпуклого ана- анализа — математической дисциплины, сформировавшейся в последние годы в рамках функционального анализа. Теория двойственности Мииковского излагается для важного н широкого класса объектов, охватывающего выпуклые и сублинейные функции; выпуклые, нор- нормальные, выпуклые по Фаию и другие множества н т. п. Приводятся разнообразные приложения этой теории. Особое внимание уделено задачам представления положительных функционалов над различ- различными классами выпуклых функций н множеств, проблемам сходимости последовательностей линейных Операторов и порождения полуупоря- полуупорядоченных пространств с помощью операции взятия супремума, экстре- экстремальным задачам геометрии выпуклых поверхностей и ряду других вопросов. Книга доступна студентам старших курсов математических фа- факультетов и будет полезна аспирантам и научным работникам, спе- специализирующимся в области выпуклого и функциоиального анализа, математического программирования и геометрии выпуклых множеств. ПРЕДИСЛОВИЕ В последние годы резко возрос интерес к теории вы- выпуклых функций, выпуклых множеств, выпуклых экст- экстремальных задач и к другим вопросам, связанным с вы- выпуклостью. Интерес к этой тематике стимулировался в основном потребностями математического программиро- программирования [75]. Исследования в указанных направлениях в настоя- настоящее время объединяются под названием «выпуклый анализ». Общей чертой большинства работ по выпукло- выпуклому анализу является их ярко выраженная прикладная направленность. В то же время, идеи выпуклого анали- анализа находят многочисленные приложения и в традицион- традиционных разделах математики — в конструктивной теории функций, теории линейных неравенств, вариационном исчислении и т. д. С точки зрения методов исследования, общим при- приемом работ по выпуклому анализу является систе- систематическое использование различного рода идей двой- двойственности. Аппарат лагранжевой двойственности экстремальных задач изложен, например, в [47]. Схема двойственности выпуклых функций (теория сопряженных функций) из- изложена в [141]. Однако подробное изложение двойст- двойственности М'ишшвского, несмотря на большую нагляд- наглядность этого понятия и многообразие его внутриматема- тичеоких приложений, в монографической литературе отсутствует. Настоящая работа представляет попытку восполнить этот пробел. При этом оказалось целесообразным изложить тео- теорию двойственности Минковского, не закладывая в нее априори никаких теорем отделимости, что приводит к по- нятию так называемых Я-выпуклых функций (т. е. функ- функций, являющихся верхиими огибающими функций из не- некоторого класса Я).