Читать онлайн «Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ - 1974 • ¦ Б17. 2 ;,¦•,;,,¦ j; , МЗО УДК 517. 946 ^ Различные процессы, протекающие в средах с инородными вклю- включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверх- поверхностях этих включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно слож- сложную структуру, и даже при помощи численных методов практически невозможно найти их решения. Поэтому принципиальное значение приобретает вопрос о том, как и при каких условиях задачи такого типа можно свести к значительно более простым задачам для одно- однородной среды и найти описывающие их уравнения. В монографии развивается общая математическая теория, дающая ответ иа этот вопрос и охватывающая большое количество конкретных задач. В качестве иллюстрации рассмотрены ее приложения к некоторым задачам радиофизики, акустики, теории упругости и гидромеханики. Книга предназначена для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Она будет полезна также физикам, радиофизикам и механикам, интересующимся вопросами распространения волн в средах с большим числом мелких неодно- родностей и аналогичными вопросами, возникающими в теории упру- упругости и гидромеханике. Рецензенты: д-р физ. -мат. наук М. С. Лившиц, д-р физ. -мат. наук А. Д. ПРЕДИСЛОВИЕ • iiU ¦:•;. ¦ I . :г. : ,:'. ,, S1: ¦','-. -г, . ¦. ,:;:. . г> :. , ¦:;¦). ''. ,-. ;- ¦; ,: . ,; . . ¦ г. г ¦ : ¦ ... (¦! . м . : ¦'. : ;t ,-г г. . ¦ ,¦ . '•'•. " Г. : , ; ¦•,. ;¦ . \ . <:¦¦ ¦. ,•(:. ',! . ¦ ,:-,'; • , !¦ • ¦ ' ¦. ¦. • " ; •» I "¦¦ ' • :l i :, . л-. . ¦ • . Монография посвящена некоторым математическим вопросам, возникающим- при изучении процессов, описываемых решениями краевых задач в областях слож- сложной структуры, граница которых, например, состоит из большого числа мелких непересекающихся компонент. Такие области мы называем областями с мелко- мелкозернистой границей. Сложная структура области не вносит дополнительных труд- трудностей в доказательства теорем существования и единственности решений краевых задач. Однако при нахождении этих решений как точными, так и приближенными методами возникают непреодолимые трудности. Лишь привлекая различные физи- физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых задач. В одних случаях решения исходных дифференциальных уравнений с граничными условиями на сложной границе заменяются решениями измененных дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем простран- пространстве. В других — сложная граница в исходной задаче заменяется сравнительно простой поверхностью, на которой задаются так называемые усредненные гранич- граничные условия.