Читать онлайн «Векторные поля на плоскости»

М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, А. И. ПЕРОВ, А. И. ПОВОЛОЦКИЙ, П. П. ЗАБРЕЙКО ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ ш ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1963 517. 2 К 78 АННОТАЦИЯ Книга посвящена важному геометричес- геометрическому методу анализа и его приложениям к разным задачам алгебры многочленов, тео- теории функций, теории обыкновенных диффе- дифференциальных, уравнений. Ряд существен- существенных результатов принадлежит авторам книги. Книга может быть рекомендована сту- студентам физико-математических -специаль- -специальностей, аспирантам, научным работникам, интересующимся различными нелинейными проблемами. Она может также служить введением в круг идей и методов интен- интенсивно развивающегося в настоящее время нелинейного функционального анализа. ОГЛАВЛЕНИЕ яисловие 5 |а в а 1. Вращение векторного поля 7 1. Угловая функция 7 Векторное поле G). Угловая функция (8). Вращение поля A0) . Формула Пуанкаре A1). Вычисление вращения A2). 2. Векторные поля на замкнутых кривых . 15 Замкнутые кривые A5). Вращение и угловая функция A6). Фор- Формула Пуанкаре A9). Об одном признаке отлнчня вращения от нуля B0). Нечетные поля B1) Поле касательных B8). :3. Особые точки векторного поля 24 Вращение иа границе многосвязной области B4). Вращение поля без нулевых векторов B6) Особая точка и ее индекс |. '. Теорема об алгебраическом числе особых точек B8). Продолжение вектор- векторных полей B9). Продолжение без нулевых векторов C1). >4. Гомотопные векторные поля 33 Определение гомотопности C3). Основная теорема C4). Обратная теорема C5). Признаки гомотопности C5). Векторные поля, близкие к нечетным '37). Вращение на границе произвольной области C8). О векторных полях на двумерных многообра- многообразиях D0). Произведение вращений D2). Устойчивость особой точки D3). j| 5. Порядок точки и степень отображения 44 Порядок точки относительно образа границы D4). Порядок точки относительно локально простой кривой D7). Степень отображения. на окружность E0). Локальная степень отображения E2). Сте- Степень отображения области E3). Угловой порядок локально про- Г стой кривой E5). О вращении разрывных полей F0). ав а 2. Индекс особой точки 61 $ 6. Векторные поля с главной линейной частью 61 • г Вычисление индекса по главной части поля F1). Линейные поля F4). -:{' Вычисление индекса по линеаризованному полю F5). Асимптоти- t чески линейные поля F7). 7. Векторные поля с вырожденной линейной частью... 67 :т - ' Общая формула F7). Вычисление индекса G0). Еще один спо- •L соб вычисления индекса G2). А 8. Векторные поля с главной полилинейной частью ... . 76 ?F Полилинейное поле G6). Общая теорема G7). Частный класс С: полилинейных полей G8). Общий случай полилинейных полей (82). ш1. Билинейные поля (85). Основная формула для вычисления нв> Ш, декса (88). Асимптотически полилинейные поля (92). 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 9. Особые точки аналитических функций 93 Функция то=2П (93). Индекс нуля аналитической функции (94). Индекс полюса (94). Глава 3. Приложения 96 § 10. Разрешимость уравнений 9fe Теорема Боля — Брауэра (96).