Читать онлайн «Лекции по алгебраической геометрии: Аффинные схемы»
Автор Манин Ю.И
t
(
^»,«w^-l a^a life... . :!' '-ш wi^^v^
Ю. И. МАНИН
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Аффинные схемы
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1970
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕЮ
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
НАУЧНО-МПОДИЧЕСКИЙ-КАБИНЕТ
ПО ЗАОЧНОМУ II BE4EPHF4V ОБУЧЕНИЮ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
шипи \1 В. ЛОМОНОСОВА
Ю. И. МЛН II Н
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Аффинные схемы
К
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО. УНИВЕРСИТЕТА
1970
Предисловие
В 1966-1968 гг. автор прочел на механико-математическом
факультете УГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической
геометрии. Материал первого года был раамножен на рота прият*
£2j , материал второго года был опубликован в "Успехах
математических наук" £бЛ . Оба эти издания сохранили отпечаток
лекционного стиля, с его преимуществами и недостаткам!». Предлагаемая сейчас читателю небольшая книжка является
первой главой задуманного учебника по алгебраической
геометрии. Она была написана на основе материала нескольких первых
лекций [2] , значительно расширенных и переработанных. Специалисту может показаться странным, что в книжке,
которая называется "Аффинные схемы", на самом деле ни ражу не
появляется определение схемы как пространства с пучком. В
действительности наша цель - практически научить читателя
геометрическому языку коммутативной алгебры. Необходимость
излагать алгебраический материал отдельно и затем "применять"
его к алгебраической геометрии постоянно обескураживала
геометров: О. Зариский и П. Самюэль очень выразительно пипдгт об
атом в предисловии к книге "Коммутативная алгебра".
Появление теории схем А. Гротендика открыло счастливую
возможность вообще не проводить границу между "геометрией"
и "алгеброй" - они выступают теперь как дополнительные
аспекты единого целого, подобно пространствам и функииям в других
геометрических теориях. С этой точки зрения коммутативная алгебра совпадает е
теорией локальных геометрических объектов - аффинных схем.
3
Р&сшифровка последней фразы и составляет содержание
книжки. Я попытался последовательно объяснить, какого рода
геометрические представления должны быть связаны, скажем, с
примерным разложением, модулями или нильпстентами. По словам
А. Вейля, простракственная интуиция "неоиечиме, если сознавать
ее ограниченность". Я хотел учесть оба члена этой изящной
формулировки. Конечно, геометрический акцент оказал сильное влияние
и на выбор материала; в частности, эта глава должна
подготовить почву для введения глооальных объектов. Поэтому в
параграфе о Еекторных расслоениях на "наивном" уровне изложены
конструкции, принадлежащие по существу уже теории пучков. Наконец, мне хотелосо как можно раньше ввести категор-
ные понятия, которые не так важны в локальных вопросах, но
играют все большую роль в дальнейшем. Читателю рекомендуется
заранее просмотреть дополнение "Язык категорий" и
возвращаться к нему по мере необходимо си. Эфи записки были предметом семинара на мехмате МГУ в
1969-1970 гг. Семинаром руководили В. Исковских и В. Данилов,
которым я глубоко признателен эа ряд замечаний.
