Читать онлайн «Современные методы теории поля. Геометрия и квантовые поля»

ГЛ. Сарданашвили ГЕОМЕТРИЯ И КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ Современные методы теории поля. Т. 4 М. : УРСС, 2000. — 160 с. В этом томе дается краткий обзор квантовых полевых моделей, в которых существенную роль играют связности. В квантовой теории поля используется алгебраическое понятие связностей на модулях и пучках. Содержание Введение 3 Глава 1 Алгебраические связности 4 § 1. Дифференциальное исчисление на модулях 4 §2. Связности на модулях 12 §3. Связности на пучках 16 Глава 2. Связности в квантовой механике 24 §1. Эволюция квантовых систем 24 §2. Связности Берри 28 Глава 3. Суперсвязности 32 § 1. Алгебра градуированных пространств 32 §2. Связности на градуированных многообразиях 35 §3. Суперрасслоения и суперсвязности 44 §4. Суперсвязности на главных суперрасслоениях 56 §5. Главные градуированные расслоения 61 §6. Суперсимметричная теория поля 64 §7. Суперсвязности Неемана— Куплена 70 Глава 4. Связности в БРСТ-формализме 75 §1. Связность на струях бесконечного порядка 75 §2. Вариационный бикомплекс 86 §3. Струи духов и антиполей 90 §4. БРСТ-связность 97 Глава 5. Топологические теории поля 102 §1. Пространство калибровочных полей 102 §2. Связности на калибровочных полях 107 § 3. Инварианты Доналдсона 112 Глава 6. Аномалии 115 § 1. Калибровочные аномалии 115 §2. Глобальные аномалии 119 §3. БРСТ-аномалии 122 Глава 7. Связности в некоммутативной геометрии 125 §1. Некоммутативная алгебра 125 §2. Некоммутативное дифференциальное исчисление 128 § 3. Универсальные связности 132 §4. Связности Дюбуа— Виолетта 133 § 5. Матричная геометрия 135 §6. Некоммутативная геометрия Кона 137 Приложение А. К-теория Приложение Б. Теорема об индексе Библиография Предметный указатель Предметный А аномалий группа 121 — точная последовательность 121 аномалия 118 — глобальная 121 — локальная 121 антидуховое число 96 антиполе 94 антискобки 95 Атьи—Зингера связность 112 Атьи класс 23 Б базис градуированного многообразия 37 базовая группа Ли 57 базовое пространство супермногообразия 47 Берри связность 30 — фазовый множитель 30 Бетти число 113 биалгебра 57 бикомплекс 87 бимодуль центральный 125 БРС-оператор 66 БРСТ-аномалия 123 БРСТ-замкнутая форма ПО локальная 98 БРСТ-когомологии 98 БРСТ-оператор 96 — полный 98 БРСТ-связность 101 БРСТ-тензорнос поле 100 БРСТ-точная форма ПО локальная 98 В вариационная последовательность 88 вариационный оператор 88 векторное поле на пространстве струй бесконечного порядка 86 139 141 149 154 конфигурационное указатель вертикальное пространство 64 — расслоение Лежандра 65 — расширение гамильтоновой формы 65 вертикальный дифференциал 84 вещественный спектр 11 внешняя алгебра 33 градуированного модуля 33 Г Гейзенберга уравнение 25 Гельмгольца—Сонина оператор 89 геометрический модуль 12 — фазовый множитель 31 главная часть дифференциального оператора 141 главное градуированное расслоение 63 — суперрасслоение 59 глобальная калибровка 107 гомотопическая производная 116 — связность 115 — формула Картана 116 гомотопический оператор 116 горизонтальная проекция 84 горизонтальный дифференциал 84 градуированная алгебра 33 банахова 33 дифференциальная 128 — оболочка 34 — общая линейная группа 35 — полная производная 92 — связность 40 композиционная 41 на градуированном расслоении 63 — форма 42 гамильтонова 68 — функция 35 Z-градуированная алгебра 128 градуированное векторное поле 37 пространство 33 — дифференцирование 37 — кольцо 32 — многообразие 35 простое 39 — подмногообразие 63 замкнутое 63 — расслоение 63 струй 63 — тензорное произведение 33 градуированные когомологии Де Рама 43 градуированный внешний дифференциал 43 — горизонтальный дифференциал 93 — комплекс Де Рама 43 — модуль 32 свободный 32 центральный 32 Грассмана алгебра 33 группа Гротен дика 139 группоподобные элементы 62 д Де Рама комплекс на струях бесконечного порядка 82 детерминантов расслоение 121 дифференциальное исчисление 128 — -Кона 137 универсальное 129 Шевалле—Эйленберга 131 дифференциальный оператор сопряженный 143 эллиптический 142 дифференцирование 5 Доналдсона инвариант 114 — полином 114 духи для духов 94 духовая грассманова четность 93 духовое число 93 полное 93 И индекс дифференциального оператора топологический 146 — комплекса 144 — многообразия 113 — эллиптического оператора 143 интегрируемое векторное поле 79 К калибровочная группа 91 — -Ли 106 отмеченная 104 эффективная 104 калибровочно инвариантный полином 115 каноническая связность на струях бесконечного порядка 85 канонический пучок G- суперфункций 46 каноническое горизонтальное расщепление 79 киральный оператор Дирака 120 классический базис 94 ковариантный дифференциал на модуле 13 — лапласиан 106 когомологии группы 119 кольцо Фреше 11 ЗС-кольцо 4 комодуль 62 компактифицированное касательное расслоение 145 комплекс комплексов 87 — эллиптический 144 конечное сопряженное 61 контактная проекция 84 — форма 79, 84 кообратный 57 Косзула—Тейта дифференциал 99 коцикл 18 коядро 143 кривизна градуированной связности 41 _ некоммутативной связности 132 Дюбуа—Виолетта 134 — НК-суперсвязности 72 — связности на модуле 15 пучке 21 — суперсвязности 55 кручение некоммутативной связности 135 Л левая производная 95 *-левый модуль 7 Лейбница привило 13 для дифференцирования 5 линейный дифференциальный оператор 4 локальная форма 94 локально вариационный оператор 89 — конечное открытое покрытие 21 локальное кольцо 17 М многообразие струй высшего порядка 76 модуль дуальный 126 — конечный 126 — локально свободный 12 — проективный 126 — струй 7 —модуль 126 морфизм градуированных многообразий 35 body-морфизм 33 — супермногообразия Де Витта 51 soul-морфизм 33 Н некоммутативная связность 132 вещественная 135 Дюбуа—Виолетта 133 левая 132 линейная 135 правая 132 сопряженная 135 универсальная 132 эрмитова 135 некоммутативное векторное расслоение 127 — калибровочное поле 138 НК-суперрасслоение 71 О областьтривиализации градуированного многообразия 36 НК-суперрасслоения 71 обобщенная функция 104 образ пучка 17 общая линейная супергруппа 58 ограничения гомоморфизм 16 оператор типа Эйлера—Лагранжа 89 основное уравнение 96 оценочный морфизм 46 — элемент 61 П первая вариационная формула 89 полипом Хирцебруха 147 полная производная 76, 85 пополнение Соболева 104 правая производная 94 предпучок 16 — канонический 16 приемлемое решение 96 примитивный элемент 62 пробная функция 104 проективный предел 80 проектируемое векторное поле 78 произведение G-супермногообразий 52 прообраз пучка 17 простая точная последовательность 87 пространство калибровочных полей 102 — локальных колеи 17 — орбит 107 прямая система эндоморфизмов 82 прямое произведение градуированных многообразий 36 прямой предел 16 эндоморфизмов 82 пучок 16 — ацикличный 21 — вялый 20 — гладких функций 16 — дифференцирований 17 — локально свободный 18 постоянного ранга 18 — множеств 19 — модулей 17 — мягкий 21 — непрерывных функций 16 — постоянный 16 — струй 19 — структурный 18 — тонкий 21 Р разбиение единицы 21 разностное расслоение 145 распределение умеренного роста 104 резольвента 22 — тонкая 22 росток 16 русская формула 123 С связность каноническая на струях бесконечного порядка 84 — на главном градуированном расслоении 63 кольце 15 модуле 12 пучке 19 колец 23 — неприводимая 105 символ дифференциального оператора 142 Соболева пространство 103 спектральная последовательность 88 — тройка 137 нечетная 137 четная 137 стебель 16 струйное продолжение 77 векторного поля 78 сечения 77 структурная алгебра простого градуированного многообразия 39 структурный модуль 12 — пучок градуированного многообразия 35 супервекторного расслоения 53 супермногообразия 47 струя бесконечного порядка 80 — духового поля 92 — модуля 7 супералгебри Ли 38, 58 градуированной группы Ли 62 супервекторное иоле 49 инвариантное 60 левоинвариантнос 58 фундаментальное 60 — пространство 34 — расслоение 53 Gх-супервекторное расслоение 53 супергруппа Ли 56 су пер детерминант 35 суперкасательное пространство 48 — расслое Fine 54 Сх-суперкасательное расслоение 54 суперматрица 34 — нечетная 34 — четная 34 супермногообразис 47 — Де Витта 50 — стандартное 48 G-супермногообразие 47 Gx -супермногообразие базовое 48 G-супермногообразие 49 Gx -супермногообразие 49 супернространство 34, 48 суперрасслоение Неемана—Куплена 71 G-суперрасслоение 53 суперсвязность 55 — на главном суперрасслоении 61 — Неемана—Куплена 71 суперслед 34 супертранспонирование 34 суперформа 49 — связности 61 суперфункция 45 — гладкая 46 G-суперфункция 46 Gx -суперфункция 46 G/Г -суперфункция 46 FF -суперфункция 46 i?x -суперфункция 49 T тело градуированного многообразия 35 — НК-суперрасслоения 70 — супермногообразия Де Витта 51 теорема Атьи—Зингера 146 — Батчелора 36 — вложения Соболева 104 — Де Рама 22 — Доналдсоиа 113 — об индексе Хирцебруха 113 — Серре—Свана 127 — Ходжа 144 топологическое тензорное произведение 12 топология Гротендика 12 — Де Витга 50 трансгрессии формула 115 смещенная 123 тривиальная пара 96 У универсальное расслоение 108 уравнения спуска 98, ПО, 123 Ф фазовое пространство связностей 112 фильтрованное кольцо 82 фильтрованный модуль 82 — морфизм 82 фоновая калибровка 111 форма пересечения 112 четная 113 формула Кюннета 113 — трансгрессии локальная 116 фундаментальный цикл 113 X характеристическое расслоение градуированного многообразия 39 ц центр бимодуля 125 . К"-цикл 137 Ч Чженя—Саймонса форма 116 Ш Шварца пространство 104 — распределение 104 Шевалле—Эйленберга когомологии 130 — комплекс 131 — оператор кограницы 130 Шрёдингера уравнение 27 Э Эйлера—Лагранжа оператор 89 — форма 89 эрмитова форма на *-модуле 127 Я Якоби поле 64 Введение Особенность использования геометрических методов в квантовой теории поля состоит втом, что многие геометрические понятия, например такие, как многообразие, расслоение, связность, формулирую гея в алгебраических терминах модулей и пучков.