Читать онлайн «Методы математической физики»

В. И. ЛЕВИН МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институтов ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва—1956 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга предназначена для студентов специальности «физика» физико-математических факультетов педагогических институтов. Она содержит материал, предусмотренный программой курса «Методы математической фи- физики» (изд. 1955 г. ), а именно: математическую теорию поля (т. е. векторный анализ), дифференциальные уравнения математической физики и, в качестве приложения, элементы теории вероятностей. Первые два раздела, представ- представляющие две части основного содержания книги, тесно связаны между собой. Изложение рассчитано на студентов, прошедших курс математического анализа в том объеме, в каком он предусмотрен программой. Название книги, конечно, слишком широко для ее содержания. Однако оно выбрано с целью подчеркнуть назначение книги служить пособием по курсу «Методы математической физики», фигурирующему в учебном плане. Глава 9, «Уравнение Шредингера и некоторые связанные с ним задачи», содержит материал, не входящий в программу этого курса. Она включена потому, что рассмотренные в ней вопросы требуются как математический ап- аппарат при изложении некоторых разделов курса теоретической физики. При подготовке этой книги автором были использованы предложения представителей кафедр теоретической физики московских педагогических инсти- институтов (проф. Е. М. Лифшица и доц. В. И. Родичева), а также доц. А. Г. Школь- Школьника, которым автор выражает свою признательность. Апрель 1956 г. В. И. Левин ЧАСТЬ I МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ ГЛАВА 1 СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ 1. 1. Основные понятия. Если каждой точке Р пространства (или некоторой его части) V поставлено в соответствие опреде- определенное значение и некоторой физической величины, то говорят, что в V определено поле этой величины. Поле называется скалярным, если и — скалярная величина, т. е. если ее зна- значения в определенной системе единиц суть числа. Так как зна- значение и будет, вообще говоря, изменяться от точки к точке, то удобно применять запись и (Р) (мы будем часто пользоваться та- такой записью вместо / (Р), употребляя в качестве знака функцио- функциональной зависимости ту же букву, которой обозначена зависи- зависимая переменная). Здесь аргументом служит точка Р, так что гово- говорят о переменной как о функции точки. Пример 1. и может быть температурой, измеряемой в °С или °К, плотностью зарядов, давлением газа и т. д. , и может быть также потенциалом, например, электростатического поля (кулонов потенциал) или поля тяготения масс (ньютонов потен- потенциал). Так, т и = Ч~—, ГМР где у — постоянная (всемирного тяготения), величина которой зависит от выбора системы единиц, а гМР — расстояние от точки М до точки Р есть ньютонов потенциал материальной точки М массы т. Если величина и = и(Р) не зависит от времени t, то скаляр- скалярное поле называется стационарным; если же соответствующая точке Р величина и изменяется с течением времени, т.